무한차원 내적공간의 정규직교기저

증명

무한차원 닫힌구면의 비컴팩트성을 증명할 때(관련 글 보기) 방법을 사용하면, \(X\)에서 단위벡터로 이루어진 일차독립 수열 \(\{x_n\}\)을 얻을 수 있다. 그람-슈미트 알고리즘을 이 수열 \(\{x_n\}\)에 귀납적으로 적용하면 \(\mathcal{H}\)에서 정규직교수열 \(\{e_n\}\)을 구성할 수 있다.

증명

각 \(k \in \mathbb{N}\)에 대해 \[y_k = \sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle e_n\] 이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} \|x - y_k\|^2 &= \langle x - y_k,\,x - y_k \rangle \\ &= \|x\|^2 - \sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle\overline{\langle x,\,e_n \rangle} - \sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle\langle e_n,\,x \rangle + \|y_k\|^2 \\ &= \|x\|^2 - \sum_{n=1}^k |\langle x,\,e_n \rangle|^2 . \end{aligned}\] 따라서 다음 부등식을 얻는다. \[\sum_{n=1}^k |\langle x,\,e_n \rangle|^2 = \|x\|^2 - \|x - y_k\|^2 \leq \|x\|^2 .\] 좌변의 부분합 수열이 단조증가하고 위로 유계이므로, 단조수렴 정리에 의하여 \(k\to \infty\)일 때 수렴한다.

증명

(⇒) 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \,e_n\)이 수렴하고 \(x = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \,e_n\)이라고 하자. 그러면 임의의 \(m \in \mathbb{N}\)에 대해, \(k \ge m\)일 때 \[\langle x,\,e_m \rangle = \lim_{k \to \infty} \left\langle\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n,\,e_m \right\rangle = \alpha_m\] 이다. 따라서 베셀 부등식에 의해 다음과 같은 결과를 얻는다. \[\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2 \leq \|x\|^2 < \infty.\] (⇐) \(\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2 < \infty\)라고 가정하고, 각 \(k \in \mathbb{N}\)에 대해 \(x_k = \sum_{n=1}^k \alpha_n \,e_n\)이라고 하자. \(k > j\)인 임의의 \(j,\,k \in \mathbb{N}\)에 대하여 \[\|x_k - x_j\|^2 = \left\|\sum_{n=j+1}^k \alpha_n e_n\right\|^2 = \sum_{n=j+1}^k |\alpha_n|^2\] 이다. \(\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2 < \infty\)이므로, 이 급수의 부분합은 수렴하고 코시 수열을 형성한다. 따라서 수열 \(\{x_k\}\)는 \(\mathcal{H}\)에서의 코시 수열이므로 수렴한다.

마지막으로 \[\left\|\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n e_n\right\|^2 = \lim_{k \to \infty} \left\|\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\right\|^2 = \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k |\alpha_n|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2\] 이므로, 바라는 결과를 얻는다.

증명

베셀 부등식에 의해 \[\sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2 < \infty\]이므로, 정리 6에 의해 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \langle x,\,e_n \rangle e_n\)이 수렴한다.

풀이

\(S\)는 정규직교수열의 부분집합이므로 역시 정규직교수열이다. 이제 벡터 \(e_1\)이 \[e_1 = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{2n}e_{2n}\] 으로 표현될 수 있다고 가정하자. (그러한 \(\alpha_{2n}\)이 존재한다고 가정하자.) 그러면 임의의 \(m\in\mathbb{N}\)에 대하여 \[0 = \langle e_1,\,e_{2m} \rangle = \lim_{k \to \infty} \left\langle\sum_{n=1}^k \alpha_{2n}e_{2n},\,e_{2m}\right\rangle = \alpha_{2m}\] 이다. 따라서 \[e_1 = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{2n} \,e_{2n} = 0\] 인데, 이는 수열 \(\{e_n\}\)의 정규직교성에 모순이다.

증명

• [(a)⇒(d)] \(x \in \mathcal{H}\)라 하고 \[y = x - \sum_{n=1}^{\infty}\langle x,\,e_n \rangle e_n\]이라고 하자. 각 \(m \in \mathbb{N}\)에 대해 \[\begin{aligned} \langle y,\,e_m \rangle &= \langle x,\,e_m \rangle - \lim_{k \to \infty} \left\langle\sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle e_n,\,e_m\right\rangle \\ &= \langle x,\,e_m \rangle - \langle x,\,e_m \rangle = 0 \end{aligned}\] 이다. 따라서 성질 (a)에 의해 \(y = 0\)이므로, 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대해 \[x = \sum_{n=1}^{\infty}\langle x,\,e_n \rangle e_n\]이다. 즉, 성질 (d)가 성립한다.
• [(d)⇒(b)] 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대해, \[x = \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle e_n\]이다. 그런데 \[\sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle e_n \in \text{Sp}\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\]이므로, \[x \in \overline{\text{Sp}}\{e_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}\]이다. 즉 (b)가 성립한다.
• [(d)⇒(c)] 정리 6으로부터 바로 얻을 수 있다.
• [(b)⇒(a)] \(y \in \{e_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}^{\perp}\)라고 가정하자. 그러면 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\langle y,\,e_n \rangle = 0\)이므로, 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(e_n \in \{y\}^{\perp}\)이다. \(\{y\}^{\perp}\)가 닫힌 부분벡터공간이므로, 이는 \(\mathcal{H} = \overline{\text{Sp}}\{e_n\} \subset \{y\}^{\perp}\)임을 의미한다. 따라서 \(y \in \{y\}^{\perp}\)이므로 \(\langle y,\,y \rangle = 0\)이다. 그러므로 \(y = 0\)이다.
• [(c)⇒(a)] 만약 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\langle x,\,e_n \rangle = 0\)이면, (c)에 의해 \[\|x\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2 = 0\]이므로 \(x = 0\)이다.

풀이

\(x = \{x_n\} \in \ell^2\)이라고 하자. 그러면 \[\|x\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2\] 이다. 따라서 정리 10에 의하여 \(\{e_n\}\)은 정규직교기저이다.

증명

1. \(X\)가 유한차원 실노름벡터공간이라고 하고, \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\)가 \(X\)의 기저라고 하자. 그러면 \(\alpha_n\)이 유리수일 때 \(\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\) 꼴인 벡터의 집합은 가산이고 조밀하다. 따라서 \(X\)는 가분이다. 복소노름벡터공간의 경우, 복소유리수 계수 \(\alpha_n\)을 사용한다.
2. \(\mathcal{H}\)가 무한차원이고 가분공간이라고 가정하자. \(\{x_n\}\)을 \(\mathcal{H}\)에서 가산이고 조밀한 수열이라고 하자. 수열 \(\{x_n\}\)의 모든 원소 중에서 이전 원소들의 일차결합인 원소를 제거하여 새로운 수열 \(\{y_n\}\)을 구성한다. 이 같은 구성의 결과로 얻은 수열 \(\{y_n\}\)은 일차독립이다. 이제 수열 \(\{y_n\}\)에 그람-슈미트 알고리즘을 귀납적으로 적용하여, 각 \(k \geq 1\)에 대해 \[\operatorname{Sp}\{e_1,\,\ldots,\,e_k\} = \operatorname{Sp}\{y_1,\,\ldots,\,y_k\}\] 가 되는 성질을 가진 \(\mathcal{H}\)의 정규직교수열 \(\{e_n\}\)을 구성할 수 있다. 따라서, \[\operatorname{Sp}\{e_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} = \operatorname{Sp}\{y_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} = \operatorname{Sp}\{x_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}\] 이다. 수열 \(\{x_n\}\)이 \(\mathcal{H}\)에서 조밀하므로 \(\overline{\text{Sp}}\{e_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} = \mathcal{H}\)이고, \(\{e_n\}\)은 \(\mathcal{H}\)의 정규직교기저이다.
   이제 \(\mathcal{H}\)가 정규직교기저 \(\{e_n\}\)을 가진다고 가정하자. \(k\in\mathbb{N},\) \(\alpha_n \in \mathbb{Q}\)에 대하여 \(x = \sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\) 꼴로 표현되는 \(x \in \mathcal{H}\)의 집합은 명백히 가산이다. 이제 이 집합이 조밀함을 보이면 \(\mathcal{H}\)가 가분임이 밝혀진다. 이를 위해, 임의의 \(y \in \mathcal{H}\)와 \(\epsilon > 0\)이 주어졌다고 하자. 그러면 \(y\)는 \(y = \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n e_n\) 형태로 쓸 수 있고, \(\sum_{n=1}^{\infty} |\beta_n|^2 < \infty\)이다. 따라서 \(\sum_{n=N+1}^{\infty} |\beta_n|^2 < \epsilon^2/2\)을 만족시키는 정수 \(N\)이 존재한다. 이제, 각 \(n = 1,\,\ldots,\,N\)에 대해, \(|\beta_n - \alpha_n|^2 < \epsilon^2/2N\)을 만족시키는 유리수계수 (또는 복소유리수계수) \(\alpha_n\)을 선택하고, \(x = \sum_{n=1}^N \alpha_n e_n\)이라고 하자. 그러면 \[\|y - x\|^2 = \sum_{n=1}^N |\beta_n - \alpha_n|^2 + \sum_{n=N+1}^{\infty} |\beta_n|^2 < \epsilon^2\] 이다. 따라서 \(k\in\mathbb{N},\) \(\alpha_n \in \mathbb{Q}\)에 대하여 \(x = \sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\) 꼴로 표현되는 \(x \in \mathcal{H}\)의 집합은 조밀하다.