\(A\)가 \(k\)차 정사각행렬이고 \(x\in\mathbb{F}^k\)일 때, 연립방정식 \[Ax = y\] 를 푸는 방법 중 하나는 역행렬 \(A^{-1}\)를 찾고 해를 \(x = A^{-1}y\)로 구하는 것이다. 이것은 \(A\)의 역행렬이 존재할 때 가능하다. 이 글에서는 이와 같은 상황을 무한차원으로 확장하여 살펴보자.
정의 1. (가역 연산자)
\(X\), \(Y\)를 노름공간이라 하자. 연산자 \(T \in B(X,\,Y)\)가 가역(invertible)이라는 것은 \(ST = I_X\), \(TS = I_Y\)를 만족시키는 연산자 \(S \in B(Y,\,X)\)가 존재함을 의미한다. 이 경우 \(S\)를 \(T\)의 역연산자(inverse)라고 부르고 \(T^{-1}\)와 같이 나타낸다.
연산자 \(T \in B(X,\,Y)\)가 가역이면 그 역은 유일하다.
이제 가역인 연산자의 성질을 살펴보자.
보조정리 2. (가역 연산자의 성질)
\(X\), \(Y\), \(Z\)가 노름공간이고 \(T_1 \in B(X,\,Y)\), \(T_2 \in B(Y,\,Z)\)가 가역인 연산자라고 하자.
- \(T_1^{-1}\)는 가역인 연산자이고, \((T_1^{-1})^{-1} = T_1\)이다.
- \(T_2 T_1\)은 가역인 연산자이고, \( (T_2 T_1 )^{-1} = T_1^{-1}T_2^{-1}\)이다.
\(X = Y\)인 경우, \(B(X)\)는 \(B(X,\,Y)\)보다 더 풍부한 대수적 성질을 가진다. 특히, \(T \in B(X)\)이면 거듭제곱 \(T^n\)이 정의된다. 더욱이 \(T\)가 가역이라면 역거듭제곱 \(T^{-n} = (T^{-1})^n\)도 정의된다.
이 글에서 연산자의 가역성과 가역 연산자의 성질에 관심을 집중하기로 한다. 먼저 공간 \(X\), \(Y\) 사이에 가역 연산자가 존재하려면 두 공간의 대수적, 위상적 성질이 유사해야 한다는 사실을 살펴보자.
정의 3. (노름공간 사이의 동형)
\(X\), \(Y\)를 노름공간이라 하자. 가역 연산자 \(T \in B(X,\,Y)\)가 존재하면 “\(X\), \(Y\)가 동형이다(isomorphic)”라고 말하고, 이때 \(T\)를 동형사상(isomorphism)이라고 부른다.
\(T \in B(X,\,Y)\)가 동형사상이면 \(T^{-1} \in B(Y,\,X)\) 또한 동형사상이다. 또한 동형인 공간은 다음과 같은 성질을 가진다.
보조정리 4. (동형 공간의 성질)
노름공간 \(X\), \(Y\)가 동형이면 다음이 성립한다.
- \(\dim X < \infty\)이기 위한 필요충분조건은 \(\dim Y < \infty\)이며, 이때 \(\dim X = \dim Y\)이다.
- \(X\)가 가분공간이기 위한 필요충분조건은 \(Y\)가 가분공간인 것이다.
- \(X\)가 완비이기 위한 필요충분조건은 \(Y\)가 완비인 것이다.
연산자가 가역임을 확인하는 간단한 예를 살펴보자.
보기 5. (\(L^2 [0,\, 1]\)에서의 곱셈 연산자)
임의의 \(h \in C[0,1]\)에 대해 \(T_h \in B(L^2[0,\,1])\)을 다음과 같이 정의하자. \[(T_h u)(t) = h(t)u(t), \quad u \in L^2[0,1].\] \(f \in C[0,1]\)이 \(f(t) = 1 + t\)로 정의되면 \(T_f\)는 가역이다.
풀이
임의의 \(h \in C[0,1]\)에 대해 \(T_h\)가 유계이다. \(g(t) = \frac{1}{1+t}\)라 하자. 그러면 \(g \in C[0,1]\)이고, 모든 \(t \in [0,1]\)에 대해 \[(T_g T_f u)(t) = (T_g(fu))(t) = g(t)f(t)u(t) = u(t)\] 이다. 따라서 모든 \(u \in L^2[0,1]\)에 대해 \((T_g T_f)u = u\)이므로 \(T_g T_f = I\)이다. 마찬가지로 \(T_f T_g = I\)이다. 따라서 \(T_f\)는 가역이고 \(T_f^{-1} = T_g\)이다.
보기 5에서는 역연산자가 주어져 있었으므로 \(T_f\)가 가역임을 확인하기 쉬웠다. 일반적인 경우에서는 역연산자가 주어져 있지 않으며, 역연산자가 존재하는지 판단하기가 쉽지 않다. 보기 5와 같은 공간에서 유사한 함수 \(f \in C[0,1]\)를 \(f(t) = t\)로 정의하는 경우에도, 위 보기와 같은 접근 방식을 사용할 수 없다. 이것은 \(\frac{1}{f(t)}\)가 \(C[0,\,1]\)에 속하지 않기 때문이다. 하지만 이로부터 \(T_f\)가 가역이 아니라고 결론을 내릴 수는 없다. \(T_f\)가 \(T_h\), \(h \in C[0,1]\) 형태가 아닌 역연산자를 가질 수 있고, 이를 확인할 수 있는 수학적 도구가 아직 없기 때문이다.
따라서 연산자가 가역인지 판단하는 다른 방법을 찾아야 한다. 유한차원에서는 행렬의 행렬식을 사용하여 행렬이 가역인지 판단할 수 있지만, 이를 무한차원 경우로 일반화하기는 어렵다. 따라서 연산자가 가역인지 판단하는 다른 방법을 찾아야 한다. 첫 번째 접근법은 연산자의 노름을 사용하는 방법이다.
정리 6. (노이만 급수 전개)
\(X\)가 바나흐 공간이고 \(T \in B(X)\)라고 하자. 만약 \(\|T\| < 1\)이면 \(I - T\)는 가역이고, 그 역연산자는 다음과 같다. \[(I - T)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} T^n.\] 이 급수를 노이만 급수(Neumann series)라고 부른다.
증명
\(X\)가 바나흐 공간이므로 \(B(X)\)도 바나흐 공간이다. \(\|T\| < 1\)이므로 급수 \(\sum_{n=0}^{\infty} \|T\|^n\)이 수렴하고, 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\|T^n\| \leq \|T\|^n\)이므로, 급수 \(\sum_{n=0}^{\infty} \|T^n\|\)도 수렴한다. 그러므로 \(\sum_{n=0}^{\infty} T^n\)이 수렴한다.
\(S = \sum_{n=0}^{\infty} T^n\)이라 하고 \(S_k = \sum_{n=0}^{k} T^n\)이라 하자. 그러면 수열 \(\{S_k\}\)는 \(B(X)\)에서 \(S\)로 수렴한다. \[\|(I - T)S_k - I\| = \|I - T^{k+1} - I\| = \|-T^{k+1}\| \leq \|T\|^{k+1}\] 이고 \(\|T\| < 1\)이므로 \(\lim_{k \to \infty} (I - T)S_k = I\)이다. 따라서 \[(I - T)S = (I - T) \lim_{k \to \infty} S_k = \lim_{k \to \infty} (I - T)S_k = I\] 이다. 같은 방법으로 \(S(I - T) = I\)이므로 \(I - T\)는 가역이고 \((I - T)^{-1} = S\)이다.
위 정리를 활용하는 예로서, 적분방정식의 해를 구하는 문제를 살펴보자.
보기 7.
\(A \in \mathbb{C}\)이고 \(a,\,b \in \mathbb{R},\) \(a < b\)라고 하자. 그리고 함수 \(k: [a,\,b] \times [a,\,b] \to \mathbb{R}\)가 다음과 같이 정의되어 있다고 하자. \[k(x,\,y) = A \sin(x-y).\] \(|A| < 1\)일 때, 임의의 \(f \in C[a,\,b]\)에 대해 \[g(x) = f(x) + \int_0^1 k(x,\,y)g(y) \, dy\] 를 만족시키는 \(g \in C[a,\,b]\)가 존재한다.
풀이
선형변환 \(K: C[a,\,b] \to C[a,\,b]\)를 다음과 같이 정의하자. \[(K(g))(s) = \int_a^b k(s,\,t)g(t) \, dt .\] 그러면 이 연산자는 유계이고 \(\|K(g)\| \leq |A|\|g\|\)이다. 따라서 \(\|K\| \leq A\)이다.
문제의 적분 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[(I - K)g = f .\] 정리 6에 의하여 \(I - K\)가 가역이므로, 적분방정식은 (유일한) 해 \[g = (I - K)^{-1}f\] 를 가진다.
정리 6은 가역인 연산자 집합의 거리공간 성질을 끌어내는 데에도 사용될 수 있다.
따름정리 8. (가역 연산자의 집합은 열린집합이다)
\(X\), \(Y\)가 바나흐 공간이라고 하자. \(B(X,\,Y)\)에서 가역인 연산자의 집합 \(\mathcal{A}\)는 열린 집합이다.
증명
\(T \in \mathcal{A}\)라 하고 \(\eta = \|T^{-1}\|^{-1}\)이라 하자. \(\mathcal{A}\)가 열린 집합임을 보이려면, \(\|T - S\| < \eta\)일 때 \(S \in \mathcal{A}\)임을 보이면 충분하다.
\(\|T - S\| < \eta\)라 하자. 그러면 \[\|(T - S)T^{-1}\| \leq \|T - S\|\|T^{-1}\| < \|T^{-1}\|^{-1}\|T^{-1}\| = 1\] 이다. 따라서 정리 6에 의하여 \(I_Y - (T - S)T^{-1}\)는 가역이다. 그러나 \[I_Y - (T - S)T^{-1} = I_Y - (I_Y - ST^{-1}) = ST^{-1}\] 이다. 따라서 \(ST^{-1}\)은 가역이고, \(S = ST^{-1}T\)도 가역이다. 그러므로 \(S \in \mathcal{A}\)이다.
이제 연산자의 가역성을 판별하는 두 번째 방법을 살펴보자. \(X\)와 \(Y\)가 노름공간이고 \(T \in B(X,\,Y)\)라고 가정하자. \(T\)가 가역이면 일대일대응이다. (즉 \(\operatorname{ker}(T) = \{0\}\)이고 \(\operatorname{im}(T) = Y\)이다.) 반대로, \(T\)가 일대일대응이면, \(S \circ T = I_X\)이고 \(T \circ S = I_Y\)인 유일한 선형변환 \(S: Y \to X\)가 존재한다. 그러나 일반적으로 \(S\)가 유계임을 보장할 수 없으므로, \(T\)가 일대일대응이라는 성질은 가역성의 충분조건이 아니다. 그러나 다음 정리가 성립한다.
정리 9. (열린 사상 정리)
\(X\)와 \(Y\)가 바나흐 공간이고 \(T \in B(X,\,Y)\)가 \(Y\) 위로의 함수라고 하자. 그리고 \[L = \{T(x) \,\vert\, x \in X \text{ and } \|x\| \leq 1\}\] 이며, \(L\)의 폐포를 \(\overline{L}\)이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
- \(\{y \in Y \,\vert\, \|y\| \leq r\} \subseteq \overline{L}\)인 \(r > 0\)이 존재한다.
- \(\{y \in Y \,\vert\, \|y\| \leq \frac{r}{2}\} \subseteq L\)이다.
- \(T\)가 일대일함수이면 \(T\)는 가역이다.
증명
어느 집합이 어느 공간에 속하는지 명확하게 하기 위해, 다음과 같은 표기법을 사용하자. \[B_{X}(0,\,r) = \{x \in X \,\vert\, \|x\| < r\}\] 를 공간 \(X\)에서 중심이 \(0\)이고 반지름이 \(r\)인 열린 공이라고 하고, 이 공의 폐포를 \[\overline{B}_{X}(0,\,r) = \{x \in X \,\vert\, \|x\| \leq r\}\] 이라고 하며, \(B_{Y}(0,\,r)\)과 \(\overline{B}_{Y}(0,\,r)\)을 공간 \(Y\)에서의 열린 공과 열린 공의 폐포라고 하자.
- \(T\)가 \(X\)를 \(Y\) 위로 대응시키므로, 임의의 \(y \in Y\)에 대해 \(T(x) = y\)인 \(x \in X\)가 존재한다. 따라서 \(y \in \|x\|L\)이고, \[Y = \bigcup_{n=1}^{\infty} nL\] 이다. 그러므로 Baire 범주 정리에 의해, \(N \in \mathbb{N}\)이 존재하여, \(NL\)이 열린 공을 포함한다. 스칼라를 곱하는 연산이 연속함수이므로 \(L\) 또한 열린 공을 포함한다. 그러므로, \(p \in \overline{L}\)과 \(t > 0\)가 존재하여 \[p + B_{0,Y}(t) \subseteq \overline{L}\] 을 만족시킨다. \(y \in B_{Y}(0,\,t)\)라고 하자. 그러면 \(p + y\)와 \(y - p\)는 모두 \(\overline{L}\)에 속하므로 \[y = \frac{1}{2}((p + y) + (y - p)) \in \overline{L}\] 이다. 따라서 \(L\)는 \(B_{Y}(0,\,t)\)를 포함하므로 \(r = t/2\)로 택하면 바라는 결과를 얻는다.
- \(y \in B_{Y}(0,\,r/2)\)라고 하자. \(2y \leq r\)이고 \(B_{Y}(0,\,r) \subseteq \overline{L}\)이므로, \(w_1 \in L\)이 존재하여 \[\|2y - w_1\| < r/2\] 를 만족시킨다. \(2^2y - 2w_1 \in B_{Y}(0,\,r)\)이고 \(B_{Y}(0,\,r) \subseteq \overline{L}\)이므로 \(w_2 \in L\)가 존재하여 \[\|2^2y - 2w_1 - w_2\| < \frac{r}{2}\] 을 만족시킨다. 같은 과정을 반복하면 \(L\)의 수열 \(\{w_n\}\)을 얻을 수 있으며, 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \[\|2^ny - 2^{n-1}w_1 - 2^{n-2}w_2 - \cdots - w_n\| < \frac{r}{2}\] 이다. 따라서, 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해, \[\|y - \sum_{j=1}^{n} 2^{-j}w_j\| < 2^{-n-1}r\] 이다. 그러므로 \(y = \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j}w_j\)이다. \(w_n \in L\)이므로 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\|x_n\| \leq 1\)인 \(x_n \in X\)가 존재하여 \(w_n = T(x_n)\)이다. 한편 부등식 \[\left \|\sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j}x_j \right\| \leq \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j} = 1\] 의 좌변의 노름 안에 있는 급수의 부분합의 수열이 코시 수열이므로, \(x \in \overline{B}_{X}(0,\,1)\)로 수렴한다. 또한 \[T(x) = T(\sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j}x_j) = \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j}T(x_j) = \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j}w_j = y\] 이다. 그러므로 \(y \in L\)이며, \(B_{Y}(0,\, r/2) \subseteq L\)이다.
- \(S \circ T = I_X\)와 \(T \circ S = I_Y\)를 만족하는 유일한 선형변환 \(S: Y \to X\)가 존재한다. \(\|y\| \leq 1\)인 \(y \in Y\)에 대해 \(w = \frac{ry}{2}\)라 하자. \(\|w\| \leq \frac{r}{2}\)이므로, (b)에 의해 \(\|x\| \leq 1\)인 \(x \in X\)가 존재하여 \(w = T(x)\)이다. 따라서 \(y = T(\frac{2x}{r})\)이고 \[S(y) = \|\frac{2x}{r}\| \leq \frac{2}{r}\] 이다. 그러므로 \(S\)는 유계이다.
연속인 선형변환의 그래프가 닫힌 집함임을 이전 글에서 살펴보았다. 정리 9를 사용하면, 이 같은 성질의 역이 성립함을 밝힐 수 있다. 다음 정리를 살펴보자.
따름정리 10. (닫힌 그래프 정리)
\(X\)와 \(Y\)가 바나흐 공간이고 \(T\)가 \(X\)에서 \(Y\)로의 선형변환이라고 하자. 만약 \(T\)의 그래프 \(\mathcal{G}(T)\)가 닫힌 집합이면, \(T\)는 연속이다.
증명
\(X \times Y\)가 바나흐 공간이고 \(\mathcal{G}(T)\)가 \(X \times Y\)의 닫힌 부분벡터공간이므로 \(\mathcal{G}(T)\)는 바나흐 공간이다. 함수 \(R: \mathcal{G}(T) \to X\)를 \(R(x,\,Tx) = x\)로 정의하자. 그러면 \(R\)은 \(\mathcal{G}(T)\)에서 \(X\)로의 선형변환이고 일대일대응이다 \[\|R(x,\,Tx)\| = \|x\| \leq \|x\| + \|Tx\| = \|(x,\,Tx)\|\] 이므로 \(R\)은 유계이고 \(\|R\| \leq 1\)이다. 따라서 정리 9에 의해 \(S: X \to \mathcal{G}(T)\)가 존재하여 \[S \circ R = I_{\mathcal{G}(T)} \quad \text{and}\quad R \circ S = I_X\] 를 만족시킨다. 특히 모든 \(x \in X\)에 대해 \(Sx = (x,\,Tx)\)가 성립한다. 모든 \(x \in X\)에 대해 \[\|Tx\| \leq \|x\| + \|Tx\| = \|(x,\,Tx)\| = \|Sx\| \leq \|S\|\|x\|\] 이므로 \(T\)는 연속이다.
정리 9의 (c)는 그 자체로 이름이 있는 중요한 정리이다.
따름정리 11. (바나흐 동형 정리)
\(X\), \(Y\)가 바나흐 공간이고 \(T \in B(X,\,Y)\)가 일대일대응이면, \(T\)는 가역이다.
방정식 \(T(x) = y\)를 풀 때 지금까지 살펴본 정리를 사용하려고 시도하다 보면, \(T\)가 \(X\)를 \(Y\) 위로 대응시킨다는 것을 확인하는 단계에서 이미 방정식을 풀어야 하는 상황이 발생할 수 있다. 이러한 순환 논증을 피하기 위해서는 가역성의 조건을 밝히는 다른 방법을 찾아야 한다.
보조정리 12. (가역 연산자의 하한)
\(X\), \(Y\)가 노름공간이고 \(T \in B(X,\,Y)\)가 가역인 연산자라고 하자. 그러면 임의의 \(x \in X\)에 대해 \[\|Tx\| \geq \|T^{-1}\|^{-1}\|x\|\] 가 성립한다.
증명
임의의 \(x \in X\)에 대해 \[x = T^{-1}(Tx) \leq \|T^{-1}\|\|Tx\|\]이므로 \[\|Tx\| \geq \|T^{-1}\|^{-1}\|x\|\] 이다.
위 정리는 \(T \in B(X,\,Y)\)가 가역이면 모든 \(x \in X\)에 대해 \(\|Tx\| \geq \alpha \|x\|\)을 만족하는 \(\alpha > 0\)이 존재함을 보여준다. 이 성질을 사용하여 연산자가 가역이기 위한 조건을 구성해 보자.
보조정리 13. (닫힌 치역의 조건)
\(X\)가 바나흐 공간이고 \(Y\)가 노름공간이며 \(T \in B(X,\,Y)\)라고 하자. “임의의 \(x \in X\)에 대해 \(\|Tx\| \geq \alpha \|x\|\)”를 만족시키는 \(\alpha > 0\)이 존재하면, \(\operatorname{im}(T)\)는 닫힌 집합이다.
증명
\(\operatorname{im}(T)\)의 수열 \(\{y_n\}\)이 \(Y\)의 점 \(y\)로 수렴한다고 하자. \(y_n \in \operatorname{im}(T)\)이므로, \(T x_n = y_n\)인 \(x_n \in X\)가 존재한다. \(\{y_n\}\)은 수렴하므로 코시 수열이고, 임의의 \(m,\) \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \[\|y_n - y_m\| = \|Tx_n - Tx_m\| = \|T(x_n - x_m)\| \geq \alpha \|x_n - x_m\|\] 이므로, 수열 \(\{x_n\}\) 또한 코시 수열이다. \(X\)가 완비이므로 \(x \in X\)가 존재하여 \(\{x_n\}\)이 \(x\)로 수렴한다. 따라서 \(T\)의 연속성에 의해, \[Tx = \lim_{n \to \infty} Tx_n = \lim_{n \to \infty} y_n = y\] 이다. 그러므로 \(y = Tx \in \operatorname{im}(T)\)이고, \(\operatorname{im}(T)\)는 닫힌 집합이다.
보조정리 12와 13을 사용하여 연산자가 가역이기 위한 또 다른 조건을 끌어낼 수 있다. 다음 정리를 살펴보자.
정리 14. (연산자가 가역이기 위한 조건)
\(X\), \(Y\)가 바나흐 공간이고, \(T \in B(X,\,Y)\)라고 하자. 이때 다음은 서로 동치이다.
- \(T\)가 가역이다.
- \(\operatorname{im}(T)\)가 \(Y\)에서 조밀하고, “모든 \(x \in X\)에 대해 \(\|Tx\| \geq \alpha \|x\|\)”를 만족시키는 \(\alpha > 0\)이 존재한다.
증명
[(a) ⇒ (b)]는 보조정리 12로부터 바로 얻는다.
[(b) ⇒ (a)]를 증명하자. \(\operatorname{im}(T)\)가 \(Y\)에서 조밀하고, 보조정리 13에 의해 \(\operatorname{im}(T)\)가 닫혀있으므로, \(\operatorname{im}(T) = Y\)이다. \(x \in \operatorname{ker}(T)\)이면 \(Tx = 0\)이므로 \[0 = \|Tx\| \geq \alpha \|x\|\] 이다. 따라서 \(x = 0\)이다. 그러므로 \(\operatorname{ker}(T) = \{0\}\)이고, 따름정리 11에 의해 \(T\)는 가역이다.
연산자가 가역이 아님을 보일 때에도 이 결과를 활용할 수 있다.
따름정리 15. (연산자가 비가역이기 위한 조건)
\(X\), \(Y\)가 바나흐 공간이고, \(T \in B(X,\,Y)\)라고 하자. \(T\)가 가역이 아니기 위한 필요충분조건은 다음 중 하나 이상이 성립하는 것이다.
- \(\operatorname{im}(T)\)가 \(Y\)에서 조밀하지 않다.
- \(\|x_n\| = 1\)인 \(X\)의 수열 \(\{x_n\}\)이 존재하여 \(\lim_{n \to \infty} Tx_n = 0\)이다.
위 정리는 연산자의 비가역성을 보이는 유용한 방법이다. 다음 보기를 살펴보자.
보기 16. (비가역 곱셈 연산자)
임의의 \(h \in C[0,1]\)에 대해, 보기 5에서 정의한 연산자 \(T_h \in B(L^2 [0,\,1])\)을 생각하자. \(f \in C[0,\,1]\)을 \(f(t) = t\)라고 정의하면 \(T_f\)는 가역이 아니다.
풀이
각 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(u_n = \sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}\)이라고 하자. 그러면 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대하여, \(u_n \in L^2[0,1]\)이고 \[\|u_n\|^2 = \int_0^1 \sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}(t) \sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}(t) \, dt = n \frac{1}{n} = 1\] 이다. 그런데 \[\begin{aligned} \|T_f(u_n)\|^2 &= \int_0^1 t\sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}(t) \, t\sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}(t) \, dt \\[6pt] &= n\int_0^{1/n} t^2 \, dt = n\frac{1}{3n^3} = \frac{1}{3n^2}\end{aligned}\] 이므로 \[\lim_{n \to \infty} T_f(u_n) = 0\] 이다. 그러므로 따름정리 15에 의해 \(T_f\)는 가역이 아니다.정리 14를 사용하여 연산자가 가역임을 보일 수도 있다. 보기 5를 다른 방법으로 풀어 보자.
보기 17. (\(L^2 [ 0,\,1]\)에서 곱셈 연산자의 가역성의 다른 증명)
임의의 \(h \in C[0,\,1]\)에 대해, 보기 5에서 정의한 연산자 \(T_h \in B(L^2[0,\,1])\)을 생각하자. \(f \in C[0,\,1]\)을 \(f(t) = 1 + t\)라고 정의하자. 그러면 \(T_f\)는 가역이다.
증명
이 연산자가 정리 14의 두 조건을 만족시킴을 확인하자.\(v \in C[0,\,1]\)이고 \(u = \frac{v}{f}\)라 하자. 그러면 \(u \in C[0,\,1]\)이고, 모든 \(t \in [0,\,1]\)에 대하여 \[(T_f(u))(t) = f(t)u(t) = v(t)\] 이다. 따라서 \(T_f(u) = v\)이고, \(\operatorname{im}(T_f) = C[0,\,1]\)이다. 또한 임의의 \(u \in C[0,1]\)에 대하여 \[\begin{aligned} \|T_f(u)\|^2 &= \int_0^1 f(t)u(t)\overline{f(t)u(t)} \, dt \\[6pt] &= \int_0^1 |f(t)|^2|u(t)|^2 \, dt \\[6pt] &\geq \int_0^1 |u(t)|^2 \, dt = \|u\|^2 \end{aligned}\] 이다. 그러므로 정리 14에 의해 \(T_f\)는 가역이다.
위 보기의 풀이 과정에서 \(\operatorname{im}(T_f)\)가 조밀함을 보이는 것이 역연산자를 찾는 것만큼이나 어려운 것으로 보일 수 있다. 그러나 힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)의 경우 \(B(\mathcal{H})\)에는 조밀성을 밝히는 더 유용한 방법이 있으므로, 이를 사용하면 연산자의 가역성을 더 쉽게 밝힐 수 있다.
이제 닫힌 그래프 정리를 활용한 정리를 살펴보자.
정리 18. (균등 유계 원리)
\(U\)와 \(X\)가 바나흐 공간이라고 하자. 또한 \(S\)가 공집합이 아닌 집합이고, 각 \(s \in S\)에 대해 \(T_s \in B(U,\,X)\)라고 가정하자. 각 \(u \in U\)에 대해, 집합 \(\{T_s(u) \,\vert\, s \in S\}\)가 유계이면 집합 \(\{T_s \,\vert\, s \in S\}\)는 유계이다.
증명
집합 \(\left\{ \lVert f(s) \rVert \,\vert\, s\in S \right\}\)이 유계인 함수 \(f:S \rightarrow X\)의 모임을 \(F_b (S,\,X)\)라고 하자. 그러면 \(F_b (S,\,X)\)는 \(F(S,\,X)\)의 부분벡터공간이다. 여기에 \[\lVert f \rVert = \operatorname{sup} \left\{ \lVert f(s) \rVert \,\vert\, s\in S\right\}\] 로 정의된 노름이 주어졌다고 하자.
각 \(u \in U\)에 대해, 함수 \(f^u: S \to X\)를 \(f^u(s) = T_s(u)\)로 정의하자. 정의에 의해, 집합 \[\{f^u(s) \,\vert\, s \in S\} = \{T_s(u) \,\vert\, s \in S\}\] 가 유계이므로, \(f^u \in F_b(S,\,X)\)이다.
이제 선형연산자 \(\phi: U \to F_b(S,\,X)\)를 \(\phi(u) = f^u\)로 정의하자. \(\phi\)의 그래프 \(\mathcal{G}(\phi)\)가 닫혀있음을 보일 것이다. \(\mathcal{G}(\phi)\)에서 \(U \times F_b(S,\,X)\)의 원소 \((u,\,g)\)로 수렴하는 수열 \(\{(u_n,\,\phi(u_n))\}\)을 생각하자. 그러면 \[\lim_{n \to \infty} \|g(s) - \phi(u_n)(s)\| \leq \lim_{n \to \infty} \|g - \phi(u_n)\|_b = 0\] 이고, \(T_s\)가 연속이므로, \[\begin{aligned} g(s) &= \lim_{n \to \infty} \phi(u_n)(s) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} f^{u_n}(s) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} T_s(u_n) = T_s(u) \end{aligned}\] 이다. 따라서 \(g(s) = f^u(s) = \phi(u)(s)\)이고, \(g = \phi(u)\)이며 \((u,\,g) \in \mathcal{G}(\phi)\)이다. 그러므로 \(\mathcal{G}(\phi)\)는 닫혀있다.
이제 닫힌 그래프 정리에 의하여 \(\phi\)가 유계이므로 \(s \in S,\) \(u \in U\)에 대하여 \[\|T_s(u)\| = \|f^u(s)\| \leq \|f^u\|_b = \|\phi(u)\|_b \leq \|\phi\|\|u\|\] 이다. 따라서 임의의 \(s \in S\)에 대해 \(\|T_s\| \leq \|\phi\|\)이다.
따름정리 19. (점별수렴하면 유계이다)
\(U\), \(X\)가 바나흐 공간이고, 각 자연수 \(n\)에 대하여 \(T_n \in B(U,\,X)\)라고 하자. 또한 \(u \in U\)에 대해 \[\lim_{n \to \infty} T_n u\] 가 존재한다고 가정하자. 함수 \(T\)를 각 \(u\in U\)에 대하여 \[Tu = \lim_{n \to \infty} T_n u\] 라고 정의하면, \(T \in B(U,\,X)\)이다.
증명
\(B(X,\,Y)\)가 완비임을 증명할 때와 같은 방법으로 \(T\)가 선형임을 알 수 있다.
다음으로, 임의의 \(u \in U\)에 대하여 극한 \(\lim_{n \to \infty} T_n u\)가 존재하므로, ㅈ비합 \(\{T_n u \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}\)이 유계임을 알 수 있다. 따라서, 정리 18에서 \(S = \mathbb{N}\)인 경우를 생각하면, “모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\|T_n\| \leq M\)”인 \(M\)이 존재함을 알 수 있다. 따라서 \[\|Tu\| = \lim_{n \to \infty} \|T_n u\| \leq M\|u\|\]이므로 \(T\)는 유계이다.