벡터공간에 노름(norm)을 정의하면 벡터의 길이를 다룰 수 있게 된다. 그러나 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^2\)나 \(\mathbb{R}^3\)에서 볼 수 있다시피, 벡터의 기하학적인 특성이 길이만 있는 것은 아니다. 만약 \(x = (x_1,\,x_2,\,x_3)\)과 \(y = (y_1,\,y_2,\,y_3)\)이 \(\mathbb{R}^3\)의 벡터라면, 이들 사이의 도 \(\theta\)는 내적 \[\langle x,\,y \rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 = \|x\|\|y\|\cos\theta\] 를 사용하여 구할 수 있다. 여기서 \[\begin{aligned} \|x\| &= \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = \sqrt{\langle x,\,x \rangle} , \\[6pt] \|y\| &= \sqrt{\langle y,\,y \rangle} \end{aligned}\] 는 각각 \(x\)와 \(y\)의 길이이다. 유클리드 공간에서 사용하는 내적은 매우 유용한 개념이기 때문에 이를 더 다양한 공간으로 확장하고자 한다.
정의 1. (실벡터공간에서의 내적)
\(X\)를 실벡터공간이라 하자. \(X\)에서의 내적(inner product)은 함수 \(\langle·,\,·\rangle : X \times X \to \mathbb{R}\)로서, 이 함수가 임의의 \(x,\,y,\,z \in X\)와 임의의 \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{R}\)에 대해 다음 성질을 만족함을 뜻한다.
- \(\langle x,\,x \rangle \geq 0\)
- \(\langle x,\,x \rangle = 0\)일 필요충분조건은 \(x = 0\)이다.
- \(\langle \alpha x + \beta y,\,z \rangle = \alpha\langle x,\,z \rangle + \beta\langle y,\,z \rangle\)
- \(\langle x,\,y \rangle = \langle y,\,x \rangle\)
보기 2. (실유클리드 공간의 표준내적)
함수 \(\langle·,\,·\rangle : \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}\)을 \[\langle x,\,y \rangle = \sum_{n=1}^k x_n \, y_n\] 으로 정의하면, 이 함수는 \(\mathbb{R}^k\)에서의 내적이 된다. 이 내적을 \(\mathbb{R}^k\)에서의 표준내적(standard inner product)이라고 부른다.
복소벡터공간에서는 내적을 정의할 때 몇 가지 수정이 필요하다. \(\mathbb{C}^3\)를 생각하고, 보기 2와 유사하게 다음과 같은 식을 생각해 보자. \[\langle x,\,y \rangle = \sum_{n=1}^3 x_n \, y_n .\] \(x,\,y \in \mathbb{C}^3\)인 경우, 즉 복소벡터 \(x,\) \(y\)에 대해서는 \[\langle x,\,x \rangle = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\] 이 실수가 아닐 수 있으며, 양수가 아닐 수 있다. 따라서 정의 1의 성질 (a)가 성립하지 않을 수 있다.
또한 \(x\)가 복소벡터일 때 \(\langle x,\,x \rangle\)가 실수가 아닐 수 있으므로 이 값을 \(x\)의 길이로 해석하기는 어렵다. 반면 \(|x_n|^2 = x_n \overline{x_n}\)은 \(0\) 이상인 실수이므로, \(\mathbb{C}^3\)에서의 내적을 \[\langle x,\,y \rangle = \sum_{n=1}^3 x_n \overline{y_n}\] 으로 정의하면 이러한 문제를 피할 수 있다. 하지만 정의에서 \(y\) 변수의 복소 켤레 때문에 복소공간에서의 내적의 정의를 약간 수정해야 한다.
정의 3. (복소벡터공간에서의 내적)
\(X\)를 복소벡터공간이라 하자. \(X\)에서의 내적은 함수 \(\langle·,\,·\rangle : X \times X \to \mathbb{C}\)로서, 이 함수가 임의의 \(x,\,y,\,z \in X\)와 임의의 \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{C}\)에 대해 다음 성질을 만족함을 뜻한다.
- \(\langle x,\,x \rangle \in \mathbb{R}\)이고 \(\langle x,\,x \rangle \geq 0\)이다.
- \(\langle x,\,x \rangle = 0\)일 필요충분조건은 \(x = 0\)이다.
- \(\langle \alpha x + \beta y,\,z \rangle = \alpha\langle x,\,z \rangle + \beta\langle y,\,z \rangle\)
- \(\langle x,\,y \rangle = \overline{\langle y,\,x \rangle}\)
실유클리드 공간에서와 마찬가지로 복소유클리드 공간에서도 표준내적을 정의한다.
보기 4. (복소유클리드 공간의 표준내적)
함수 \(\langle·,\,·\rangle : \mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^k \to \mathbb{C}\)를 \[\langle x,\,y \rangle = \sum_{n=1}^k x_n \overline{y_n}\]으로 정의하면, 이 함수는 \(\mathbb{C}^k\)에서의 내적이 된다. 이 내적을 \(\mathbb{C}^k\)에서의 표준내적이라고 부른다.
이제 내적공간을 다음과 같이 정의하는 것이 자연스럽다.
정의 5. (내적공간)
\(X\)가 실벡터공간이거나 복소벡터공간이라고 하자. \(X\)에 내적 \(\langle·,\,·\rangle\)이 정의되어 있을 때, \(X\)를 내적공간(inner product space)이라고 부른다.
엄밀히 말하면, 내적 \(\langle·,\,·\rangle\)이 있는 벡터공간 \(X\)와 다른 내적 \(\langle·,\,·\rangle'\)이 있는 같은 공간을 구분해야 한다. 하지만 어떤 벡터공간에서 어떤 내적이 사용되고 있는지는 항상 명확할 것이므로, 특별히 필요한 경우가 아니라면 ‘내적공간’이라고 할 때는 어떤 내적이 주어져 있는 실벡터공간 또는 복소벡터공간이라고 생각하면 된다. 특별히 언급이 없는 한, 이제부터 \(\mathbb{R}^k\)와 \(\mathbb{C}^k\)는 항상 표준내적을 가진 내적공간을 의미한다.
실벡터공간과 복소벡터공간에서의 내적 사이의 유일한 차이점은 정의 3의 성질 (d)에 있는 켤레복소수이다. 마찬가지로, 아래에서 다룰 대부분의 결과와 증명은 켤레복소수의 성질을 사용한다는 점을 제외하면 실벡터공간과 복소벡터공간 모두에 동일하게 적용된다. 따라서 앞으로는 특별히 명시하지 않는 한, 벡터공간은 실벡터공간과 복소벡터공간 모두 고려하되, 필요한 경우 식을 전개하는 과정에서 켤레복소수를 포함시키고, 실벡터공간의 경우에는 이를 무시하면 된다.
다음 정리는 내적이 임의의 유한차원 벡터공간에서 정의될 수 있음을 설명한다.
보기 6. (유한체원 벡터공간에서의 내적)
\(X\)가 기저 \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\)를 가진 \(k\) 차원 벡터공간이라 하자. \(x,\,y \in X\)를 \[x = \sum_{n=1}^k \lambda_n e_n , \quad y = \sum_{n=1}^k \mu_n e_n\] 으로 표현할 때, 함수 \(\langle·,\,·\rangle : X \times X \to \mathbb{F}\)를 \[\langle x,\,y \rangle = \sum_{n=1}^k \lambda_n \overline{\mu_n}\] 으로 정의하면, 이 함수는 \(X\)에서의 내적이 된다.
위의 내적은 \(X\)의 기저를 어느 것으로 택하는지에 따라 달라진다는 점에 유의해야 한다.
이제 \(L^p(X)\) 공간에서의 내적을 살펴보자. \(f,\,g \in L^2(X)\)라고 하자. 그러면 횔더의 부등식에서 \(p=q=2\)로 두고 \(L^2 (X)\)의 정의를 사용하면 \[\begin{gathered} \int_X |f\overline{g}| \, d\mu \leq \left(\int_X |f|^2 \, d\mu\right)^{1/2} \left(\int_X |g|^2 \, d\mu\right)^{1/2} < \infty \end{gathered}\] 를 얻는다. 즉 \(f\overline{g} \in L^1(X)\)이다. 그러므로 \(L^p(X)\) 공간에서의 내적을 다음과 같이 정의할 수 있다.
보기 7. (\(L^p\)의 표준내적)
\(f,\,g \in L^2(X)\)에 대하여 함수 \(\langle·,\,·\rangle : L^2(X) \times L^2(X) \to \mathbb{F}\)를 \[\langle f,\,g \rangle = \int_X f\overline{g} \, d\mu\] 로 정의하면, 이 함수는 \(L^2(X)\)에서의 내적이 된다. 이 내적을 \(L^2(X)\)에서의 표준내적이라 부른다.
증명
\(\langle \cdot , \cdot \rangle\)이 내적의 정의를 모두 만족시킴을 보이자. 우선 \[\langle f,\,f \rangle = \int_X |f|^2 \, d\mu \geq 0\] 이며, \[\langle f,\,f \rangle = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \int_X |f|^2 \, d\mu = 0 \quad\Leftrightarrow f = 0 \,\, \text{a.e.}\] 이다. 다음으로 \[\begin{aligned} \langle \alpha f + \beta g,\,h \rangle &= \int_X (\alpha f + \beta g)\overline{h} \, d\mu \\[6pt] &= \alpha \int_X f\overline{h} \, d\mu + \beta \int_X g\overline{h} \, d\mu \\[6pt] &= \alpha\langle f,\,h \rangle + \beta\langle g,\,h \rangle \end{aligned}\] 이다. 끝으로 \[\langle f,\,g \rangle = \int_X f\overline{g} \, d\mu = \int_X \overline{\overline{f}g} \, d\mu = \overline{\int_X \overline{f}g \, d\mu} = \overline{\langle g,\,f \rangle}\] 이다. 그러므로 \(\langle \cdot ,\, \cdot \rangle\)은 내적의 정의를 모두 만족시킨다.
\(\mathbb{N}\)에서 셈측도를 생각하고, 위 결과를 \(\ell^p\)에 적용하면 다음 결과를 얻는다.
보기 8. (\(\ell^p\)의 표준내적)
\(a = \{a_n\},\,b = \{b_n\} \in \ell^2\)이면 \(\{a_n\overline{b_n}\} \in \ell^1\)이다. 이때 함수 \(\langle·,\,·\rangle : \ell^2 \times \ell^2 \to \mathbb{F}\)를 \[\langle a,\,b \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\overline{b_n}\] 으로 정의하면, 이 함수는 \(\ell^2\)에서의 내적이 된다. 이 내적을 \(\ell^2\)에서의 표준내적이라 부른다.
다음 보기는 내적공간의 부분공간과 곱공간도 자연스러운 방식으로 정의된 내적을 통해 내적공간임을 보여준다.
보기 9. (내적공간의 부분공간)
\(X\)가 내적 \(\langle·,\,·\rangle\)을 가진 내적공간이라 하고, \(S\)를 \(X\)의 부분공간이라 하자. 함수 \(\langle·,\,·\rangle\)의 정의역을 \(S\times S\)로 제한한 함수를 \(\langle·,\,·\rangle_S\)라고 하면, \(\langle·,\,·\rangle_S\)는 \(S\)에서의 내적이다.
위와 같은 관점에서 \(S\)를 내적공간 \(X\)의 부분공간이라고 부른다. 즉 내적공간의 부분공간을 말할 때는 그 부분공간 또한 위 보기와 같은 내적을 가진 내적공간인 것으로 간주한다. 특히 \(X\)의 내적 \(\langle·,\,·\rangle\)와 \(S\)의 내적 \(\langle·,\,·\rangle _S\)는 다른 함수이지만, \(S\)의 벡터에 대해서 두 내적은 항상 같은 값을 가지므로, \(S\)의 내적도 \(X\)의 내적과 마찬가지로 \(\langle·,\,·\rangle\)와 같이 나타내기로 한다.
보기 10. (내적공간의 곱공간)
\(X\)와 \(Y\)가 각각 내적 \(\langle·,\,·\rangle_1\)과 \(\langle·,\,·\rangle_2\)를 가진 내적공간이라 하고, \(Z = X \times Y\)를 곱공간이라 하자. 함수 \(\langle·,\,·\rangle : Z \times Z \to \mathbb{F}\)를 \[\langle(u,\,v),\,(x,\,y)\rangle = \langle u,\,x\rangle_1 + \langle v,\,y\rangle_2\] 라고 정의하면, 이 함수는 \(Z\)에서의 내적이다.
위 보기에서 살펴본 내적에 의해 유도되는 노름은 다음과 같은 형태이다. \[\|(x,\,y)\| = \sqrt{\|x\|_1^2 + \|y\|_2^2} \tag{1}.\] 여기서 \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\)는 각각 내적 \(\langle·,\,·\rangle_1\), \(\langle·,\,·\rangle_2\)으로부터 유도된 노름이다. 한편 노름 \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\)을 가지는 두 공간의 곱공간에서의 노름을 다음과 같은 형태로 정의할 수도 있다. \[\|(x,\,y)\| = \|x\|_1 + \|y\|_2 .\tag{2}\] 곱공간에서 두 노름은 같지 않지만 서로 동치이므로, 해석적 성질을 논할 때는 어느 것을 사용하든 상관없다. 그러나 (1)의 노름은 제곱근 때문에 다루기가 다소 불편하다. 따라서 일반적으로 곱공간을 다룰 때 노름의 성질만 필요하다면 (2)의 노름을 사용하지만, 내적도 관련된 경우에는 유도된 노름인 (1)을 사용해야 한다.
이제 내적이 가지는 대수적 성질을 살펴보자.
정리 11. (내적의 대수적 성질)
\(X\)를 내적공간, \(x,\,y,\,z \in X\), \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F}\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
- \(\langle 0,\,y \rangle = \langle x,\,0 \rangle = 0\)
- \(\langle x,\,\alpha y + \beta z \rangle = \overline{\alpha}\langle x,\,y \rangle + \overline{\beta}\langle x,\,z \rangle\)
- \(\langle \alpha x + \beta y,\,\alpha x + \beta y \rangle = |\alpha|^2\langle x,\,x \rangle + \alpha\overline{\beta}\langle x,\,y \rangle + \beta\overline{\alpha}\langle y,\,x \rangle + |\beta|^2\langle y,\,y \rangle\)
증명
\(x,\,y,\,z \in X\), \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F}\)라 하자.
- \(\langle 0,\,y \rangle = \langle 0 \cdot 0,\,y \rangle = 0\langle 0,\,y \rangle = 0 ,\)
\(\langle x,\,0 \rangle = \overline{\langle 0,\,x \rangle} = \overline{0} = 0 .\) - \(\langle x,\,\alpha y + \beta z \rangle =\)\( \overline{\langle \alpha y + \beta z,\,x \rangle} =\)\( \overline{\alpha\langle y,\,x \rangle + \beta\langle z,\,x \rangle} =\)\( \overline{\alpha}\overline{\langle y,\,x \rangle} + \overline{\beta}\overline{\langle z,\,x \rangle} =\)\( \overline{\alpha}\langle x,\,y \rangle + \overline{\beta}\langle x,\,z \rangle .\)
- \(\langle \alpha x + \beta y,\,\alpha x + \beta y \rangle =\)\( \alpha\langle \alpha x + \beta y,\,x \rangle + \beta\langle \alpha x + \beta y,\,y \rangle = \)\( \alpha\overline{\alpha}\langle x,\,x \rangle + \alpha\overline{\beta}\langle y,\,x \rangle + \beta\overline{\alpha}\langle x,\,y \rangle + \beta\overline{\beta}\langle y,\,y \rangle .\) 여기에 \(\alpha\overline{\alpha} = |\alpha|^2\), \(\beta\overline{\beta} = |\beta|^2\)을 결합하면 바라는 결과를 얻는다.
유클리도 공간에서는 내적을 사용하여 자연스럽게 노름을 정의한다. 일반적인 내적공간 \(X\)에서도 같은 방법으로 노름을 정의할 수 있음을 보이자.
정리 12. (코시-슈바르츠 부등식, 유도된 노름)
\(X\)를 내적공간이라 하자. 그리고 \(x,\,y \in X\)라 하자.
- \(|\langle x,\,y \rangle|^2 \leq \langle x,\,x \rangle\langle y,\,y \rangle\)
- 함수 \(\|\cdot\| : X \to \mathbb{R}\)을 \(\|x\| = \sqrt{\langle x,\,x \rangle}\)라고 정의하면, 이 함수는 \(X\)에서의 노름이다.
증명
- \(x = 0\) 또는 \(y = 0\)이면 자명하므로, 둘 다 영벡터가 아니라고 가정하자.
정리 11의 (c)에서 \[\alpha = -\langle x,\,y \rangle/\langle x,\,x \rangle, \quad \beta = 1\] 로 두면 다음 결과를 얻는다. \[\begin{aligned} 0 &\leq \langle \alpha x + y,\,\alpha x + y \rangle \\[6pt] &= \left|\frac{\langle x,\,y \rangle}{\langle x,\,x \rangle}\right|^2\langle x,\,x \rangle - \frac{\langle x,\,y \rangle\langle x,\,y \rangle}{\langle x,\,x \rangle} - \frac{\overline{\langle x,\,y \rangle}\overline{\langle y,\,x \rangle}}{\langle x,\,x \rangle} + \langle y,\,y \rangle \\[6pt] &= \frac{|\langle x,\,y \rangle|^2}{\langle x,\,x \rangle} - \frac{|\langle x,\,y \rangle|^2}{\langle x,\,x \rangle} - \frac{|\langle x,\,y \rangle|^2}{\langle x,\,x \rangle} + \langle y,\,y \rangle \\[6pt] &= -\frac{|\langle x,\,y \rangle|^2}{\langle x,\,x \rangle} + \langle y,\,y \rangle . \end{aligned}\] 따라서 \(|\langle x,\,y \rangle|^2 \leq \langle x,\,x \rangle\langle y,\,y \rangle\)이다. - 위의 내적 성질을 이용하여 \(\|x\|\)의 정의가 노름의 모든 정의 성질을 만족함을 확인할 수 있다.
우선 \(\|x\| = \sqrt{\langle x,\,x \rangle} \geq 0\)이다.
다음으로 \[\|x\| = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{\langle x,\,x \rangle} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x = 0\] 이며 \[\|\alpha x\| = \sqrt{\langle \alpha x,\,\alpha x \rangle} = \sqrt{|\alpha|^2\langle x,\,x \rangle} = |\alpha|\|x\|\] 이다. 또한 \[\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \|x\|^2 + 2\text{Re}\langle x,\,y \rangle + \|y\|^2 \\[6pt] & \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 \\[6pt] &= (\|x\| + \|y\|)^2 \end{aligned}\] 이다.
위 보조정리에서 정의한 노름 \(\|x\| = \sqrt{\langle x,\,x \rangle}\)을 내적 \(\langle·,\,·\rangle\)에 의해 유도된 노름이라고 부른다. 위 보조정리는 내적공간이 항상 노름공간으로 간주될 수 있음을 보여준다. 이제부터 내적공간 \(X\)에서 노름을 사용할 때마다, 그것은 유도된 노름을 의미하는 것으로 간주한다. 지금까지 정의한 표준 노름과 내적공간 \(\mathbb{F}^k\), \(\ell^2\), \(L^2(X)\)를 살펴보면, 각 공간의 표준노름이 그 공간의 표준내적에 의해 유도됨을 알 수 있다.
이러한 관례에 따라, 정리 12의 (a)는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. \[|\langle x,\,y \rangle| \leq \|x\|\|y\| .\] 이 부등식을 코시-슈바르츠 부등식이라고 부른다.
모든 내적공간은 내적으로부터 유도된 노름을 가진다. 하지만 모든 노름이 어떠한 내적으로부터 유도될 수 있는 것은 아니다. 내적으로부터 유도된 노름은 일반적인 노름이 갖지 않는 특별한 성질을 가진다. 이 성질을 다음 정리에서 소개한다.
정리 13. (평행사변형 법칙과 분극 항등식)
\(X\)가 내적 \(\langle·,\,·\rangle\)을 가진 내적공간이라 하고, 유도된 노름을 \(\|\cdot\|\)이라 하자. 그러면 임의의 \(x,\,y \in X\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)\)
- \(X\)가 실벡터공간인 경우, \(4\langle x,\,y \rangle = \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\)이다.
- \(X\)가 복소벡터공간인 경우, \(4\langle x,\,y \rangle = \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2\)이다.
여기서 (a)를 평행사변형 법칙이라고 부르고, (b)와 (c)를 분극 항등식이라고 부른다.
주어진 노름벡터공간에서 노름이 내적에 의해 유도되지 않음을 보이는 방법 중 하나는 그 노름이 평행사변형 법칙을 만족시키지 않음을 보이는 것이다.
보기 14. (내적으로부터 유도되지 않는 노름)
공간 \(C[0,\,1]\)의 표준노름은 내적으로부터 유도되지 않는다.
증명
함수 \(f,\,g \in C[0,\,1]\)를 \(x \in [0,\,1]\)에 대하여 \[f(x) = 1 ,\quad g(x) = x\] 라고 정의하자. \(C[0,\,1]\)의 표준 노름의 정의에 따르면 \[\begin{aligned} \|f + g\|^2 + \|f - g\|^2 &= 4 + 1 = 5 \\[6pt] 2(\|f\|^2 + \|g\|^2) &= 2(1 + 1) = 4 \end{aligned}\] 이다. 즉 평행사변형 법칙이 성립하지 않는다. 그러므로 이 노름은 내적으로부터 유도되지 않는다.
내적공간 \(X\)는 노름공간이므로, 그 노름으로부터 유도된 거리를 가진 거리공간이다. 그러므로 내적공간 \(X\)를 생각할 땐, 이 내적으로부터 유도되는 노름과, 그 노름으로부터 유도되는 거리를 함께 생각하기로 한다. 이 거리의 중요한 성질은 내적 \(\langle·,\,·\rangle\)이 연속함수라는 것이다.
정리 15. (내적의 연속성)
\(X\)가 내적공간이라 하자. 그리고 \(\{x_n\}\)과 \(\{y_n\}\)이 \(X\)에서의 수렴하는 수열이며 \[\lim_{n \to \infty} x_n = x, \quad \lim_{n \to \infty} y_n = y\] 라고 하자. 그러면 \[\lim_{n \to \infty} \langle x_n,\,y_n \rangle = \langle x,\,y \rangle\] 이다.
증명
삼각부등식과 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} |\langle x_n,\,y_n \rangle - \langle x,\,y \rangle| &= |\langle x_n,\,y_n \rangle - \langle x_n,\,y \rangle + \langle x_n,\,y \rangle - \langle x,\,y \rangle|\\[6pt] &\leq |\langle x_n,\,y_n \rangle - \langle x_n,\,y \rangle| + |\langle x_n,\,y \rangle - \langle x,\,y \rangle| \\[6pt] &= |\langle x_n,\,y_n - y \rangle| + |\langle x_n - x,\,y \rangle| \\[6pt] &\leq \|x_n\|\|y_n - y\| + \|x_n - x\|\|y\| . \end{aligned} \] 수열 \(\{x_n\}\)이 수렴하므로 \(\|x_n\|\)은 유계이다. 따라서 위 부등식의 마지막 식은 \(n \to \infty\)일 때 \(0\)으로 수렴한다. 그러므로 \[\lim_{n \to \infty} \langle x_n,\,y_n \rangle = \langle x,\,y \rangle\] 이다.