이 글에서는 노름공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보자. 이미 이전 글에서 복소벡터공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보았고, 이 글에서 살펴보는 정리는 이전 글에서 살펴보는 정리의 특수한 경우이지만, 노름공간에서의 한-바나흐 정리는 다양한 응용 과정에서 자주 사용되므로 별도로 살펴볼 가치가 있다.
보조정리 1.
\(X\)가 실벡터공간이고, \(W\)가 \(X\)의 진부분벡터공간이라 하자. \(p\)가 \(X\)에서의 부분선형범함수이고 \(f_W\)가 \(W\)에서의 선형범함수이며 모든 \(w \in W\)에 대하여 \(f_W(w) \leq p(w)\)를 만족시킨다고 하자. 또한 \(z_1 \not\in W\)이고, \[W_1 = \text{Sp } \{z_1\} \oplus W = \{\alpha z_1 + w \,\vert\, \alpha \in \mathbb{R},\,w \in W\}\] 라고 하자. 그러면 \(\xi_1 \in \mathbb{R}\)과 \(f_{W_1} : W_1 \rightarrow \mathbb{R}\)이 존재하여, 임의의 \(\alpha \in \mathbb{R}\)와 \(w\in W\)에 대하여 \[f_{W_1}(\alpha z_1 + w) = \alpha \xi_1 + f_W(w) \leq p(\alpha z_1 + w), \quad \alpha \in \mathbb{R},\,w \in W \tag{1}\] 를 만족시킨다. 이때 \(f_{W_1}\)은 \(W_1\)에서 선형이고, 임의의 \(w\in W\)에 대하여 \(f_{W_1}(w) = f_W(w)\)이므로 \(f_{W_1}\)은 \(f_W\)의 확장함수이다.
증명
임의의 \(u,\,v \in W\)에 대해, 다음이 성립한다. \[f_W(u) + f_W(v) = f_W(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u - z_1) + p(v + z_1).\] 따라서 \[f_W(u) - p(u - z_1) \leq -f_W(v) + p(v + z_1)\] 이다. 그러므로 \[\xi_1 = \inf_{v \in W} \{-f_W(v) + p(v + z_1)\} > -\infty\] 이며, 임의의 \(u,\,v\in W\)에 대하여 \[-\xi_1 + f_W(u) \leq p(u - z_1), \quad \xi_1 + f_W(v) \leq p(v + z_1)\] 이다. 첫 번째 부등식에 \(\beta > 0\)을 곱하고 \(\alpha = -\beta\), \(w = \beta u\)라고 하면, \(\alpha < 0\)일 때 (1)을 얻는다. 비슷하게, 위의 두 번째 부등식을 사용하면 \(\alpha > 0\)일 때 (1)을 얻는다. \(\alpha = 0\)일 때는 \(p\)의 정의에 의하여 (1)이 성립한다.
이제 노름공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보자. 본래 이 정리의 증명은 이전 글에서 살펴본 복소벡터공간에서의 한-바나흐 정리의 따름정리로서 곧바로 얻을 수 있다. 그러나 여기서는 \(X\)가 가분공간인 특수한 경우에 대해 증명을 살펴보자. 이 증명은 비교적 간단하고, 일반적인 경우의 증명이 어떻게 전개되는지 보여주기 때문이다.
정리 2. (노름공간에서의 한-바나흐 정리)
\(X\)가 실노름공간 또는 복소노름공간이라 하고 \(W\)가 \(X\)의 부분벡터공간이라고 하자. 임의의 \(f_W \in W'\)에 대해, \(\lVert f_X \rVert = \lVert f_W \rVert\)을 만족시키는 \(f_W\)의 확장함수 \(f_X \in X'\)가 존재한다.
증명
임의의 \(x \in X\)에 대해 \(p(x) = \lVert f_W \rVert \lVert x \rVert\)라고 정의하자. 그러면 \(p\)는 \(X\)에서의 반노름이다. \(W \neq X\)이고 \(W\)가 닫혀있다고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. 만약 \(W = X\)라면 증명할 것이 없고, \(W\)가 닫혀있지 않다면 \(f_W\)는 연속성을 유지한 채로 \(\lVert f_{\overline{W}} \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족하며 \(\overline{W}\)로 확장되기 때문이다.
우선 실노름공간의 경우를 증명하고, 그 결과를 사용하여 복소노름공간의 경우를 증명하자. 지금부터 \(X\)가 가분공간이라고 가정한다.
- \(X\)가 실노름공간이라고 가정하자. (1)에서 구성한 함수에 \(p\)의 형태를 가진다는 조건을 추가하면, 보조정리 1에서 구성한 확장함수 \(f_1\)이 \(f_1 \in W_1'\)과 \(\lVert f_{W_1} \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족시킨다. 이제 \(X \setminus W\)에서 다음과 같은 성질을 가진 단위벡터 \(\{z_n\}\)의 수열이 존재한다.
\[W_n = \operatorname{Sp} \{z_1,\,\ldots,\,z_n\} \oplus W , \quad n \geq 1 , \quad W_{\infty} = \operatorname{Sp} \{z_1,\,z_2,\,\ldots\} \oplus W\]
라고 정의하면, \(n \geq 1\)에 대하여 \(z_{n+1} \not\in W_n\)이고 \(X = \overline{W_{\infty}}\)이거나, 또는 어떤 정수 \(n\)에 대해 \(X = W_n\)이다. 이 경우 확장함수 \(f_X \in X'\)는 단순히 보조정리 1을 \(n\)번 적용하여 구성할 수 있다.
\(W_0 = W\), \(f_0 = f_W\)라고 하고, 적당한 \(n \geq 0\)에 대해 \(\lVert f_n \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족시키는 \(f_W\)의 확장함수 \(f_n \in W_n'\)이 있다고 가정하자. 보조정리 1을 \(f_n\)에 적용하면 \(\lVert f_{n+1} \rVert = \lVert f_n \rVert = \lVert f_W \rVert\)을 만족시키는 확장함수 \(f_{n+1} \in W_{n+1}'\)을 얻는다.
이제 임의의 \(n \geq 0\)에 대하여, \(\lVert f_n \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족시키는 확장함수 \(f_n \in W_n'\)이 존재한다. 이러한 범함수들을 \(W_{\infty}\)로 확장하고, 다시 \(X\)로 확장할 수 있음을 보이자.
임의의 \(x \in W_{\infty}\)에 대해, \(x \in W_{n(x)}\)를 만족시키는 정수 \(n(x)\)가 존재하므로, 모든 \(m \geq n(x)\)에 대하여 \(x \in W_m\)이고 \(f_m(x) = f_{n(x)}(x)\)이다. 따라서 \(f_{\infty}(x) = f_{n(x)}(x)\)라고 정의할 수 있다. \(n \geq 0\)일 때 범함수 \(f_n\)의 성질로부터 \(f_{\infty}\)가 \(f_W\)의 확장함수이며 \(\lVert f_{\infty} \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족함을 알 수 있다. 더욱이 \(X = \overline{W_{\infty}}\)이므로 \(f_{\infty}\)는 연속성을 유지한 채 \(\lVert f_X \rVert = \lVert f_{\infty} \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족시키는 확장함수 \(f_X \in X'\)를 가진다. 이로써 \(X\)가 실노름공간일 때 바라는 결과를 얻는다. - \(X\)가 복소노름공간이라고 가정하자. 증명의 첫 부분과 이전 글의 보조정리 9를 \(f_W \in W'\)에 적용하면, 임의의 \(x\in X\) 에 대하여 다음을 만족시키는 복소선형범함수 \(f_X \in X'\)을 얻는다. \[|f_X(x)| \leq p(x) = \lVert f_W \rVert \lVert x \rVert .\] 따라서 \(\lVert f_X \rVert = \lVert f_W \rVert\)이다.
위의 증명에서 \(X\)가 가분공간이 아니라면 \(X = \overline{W_{\infty}}\)를 끌어내기 위한 벡터수열 \(z_1,\,z_2,\,\ldots\)이 존재하지 않을 수 있다. 따라서, 위 정리의 증명에서와 같이 수열을 귀납적으로 구성하는 일은 일반적으로 가분이 아닌 공간 \(X\)를 다룰 수 없으므로, “초한귀납법”이라는 더 정교한 형태의 도구가 필요하다.
이제 정리 2를 응용하여 얻을 수 있는 몇 가지 예를 살펴보자. 지금부터 \(X\)와 \(W\)는 정리 2의 가정을 만족시킨다고 약속한다.
정리 3.
\(x \in X\)가 다음을 만족시킨다고 가정하자. \[\delta = \inf_{w \in W} \lVert x - w \rVert > 0 .\] 그러면 \(\lVert f \rVert = 1\)이고 \(f(x) = \delta\)이며, 모든 \(w \in W\)에 대해 \(f(w) = 0\)을 만족하는 \(f \in X'\)이 존재한다.
증명
일반성을 잃지 않고, \(W\)가 닫혀있다고 가정할 수 있다. 만약 \(W\)가 닫혀있지 않다면, 단순히 그 폐포로 대체하면 되는데, 이는 \(\delta\)의 값을 변경하지 않기 때문이다. \(Y = \operatorname{Sp} \{x\} \oplus W\)라고 하고, \(Y\)에서 선형범함수 \(f_Y\)를 다음과 같이 정의하자. \[f_Y(\alpha x + w) = \alpha \delta, \quad \alpha \in \mathbb{F},\,\,w \in W.\] 그러면 다음 부등식이 성립한다. \[|f_Y(\alpha x + w)| = |\alpha| \delta \leq |\alpha| \lVert x \rVert + |\alpha|^{-1} \lVert w \rVert = \lVert \alpha x + w \rVert\] 그러므로 \(f_Y \in Y'\)이고 \(\lVert f_Y \rVert \leq 1\)이다.
이제 \(\lVert f_Y \rVert \geq 1\)임을 증명하자. 임의의 \(\epsilon \in (0,\,1)\)이 주어졌다고 하자. Riesz의 보조정리에 의하여 \(y = \alpha_{\epsilon} x + w_{\epsilon} \in Y\)가 존재하여 \(\lVert y \rVert = 1\)이고 모든 \(w \in W\)에 대해 \(\lVert y - w \rVert > 1 - \epsilon\)을 만족시킨다. 따라서 \(\delta\)의 정의에 의하여 다음을 만족시키는 \(w \in W\)가 존재한다. \[1 - \epsilon < \lVert \alpha_{\epsilon} x + w_{\epsilon} - w \rVert = |\alpha_{\epsilon}| \lVert x + \alpha_{\epsilon}^{-1} (w_{\epsilon} - w) \rVert < |\alpha_{\epsilon}| \delta(1 + \epsilon).\] 이 부등식으로부터 다음을 얻는다. \[|f_Y(\alpha_{\epsilon} x + w_{\epsilon} - w)| = |\alpha_{\epsilon}| \delta > \frac{1 - \epsilon}{1 + \epsilon}.\] 여기서 \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 \(\lVert f_Y \rVert \geq 1\)이 성립한다.
이제 \(\lVert f_Y \rVert = 1\)이므로, 정리 2에 의해 \(f_Y\)는 \(\lVert f \rVert = 1\)인 확장함수 \(f \in X'\)을 가진다. 더욱이 \(f\)의 정의에 의하여 \(f\)는 바라는 다른 모든 성질을 가진다.
정리 3에 의하여 다음과 같은 결과를 얻는다.
따름정리 4.
임의의 \(x \in X\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(\lVert f \rVert = 1\)이고 \(f(x) = \lVert x \rVert\)를 만족시키는 \(f \in X'\)가 존재한다.
- \(\lVert x \rVert = \sup\{|f(x)| \,\vert\, f \in X',\,\lVert f \rVert = 1\} .\)
- \(x \neq y\)인 \(y \in X\)가 존재하면, \(f(x) \neq f(y)\)를 만족시키는 \(f \in X'\)가 존재한다.
따름정리 5.
\(x_1,\,\ldots,\,x_n \in X\)가 일차독립이면 \(f_j(x_k) = \delta_{jk}\), \(1 \leq j \leq n,\) \(1\leq k \leq n\)을 만족시키는 \(f_1,\,\ldots,\,f_n \in X'\)이 존재한다.
다음으로, \(X\)와 \(X'\)의 “크기”에 대하여 다음과 같은 결과를 얻는다.
정리 6.
\(X'\)이 가분공간이면 \(X\)도 가분공간이다.
증명
\(B = \{f \in X' \,\vert\, \lVert f \rVert = 1\}\)이라고 하자. \(X'\)이 가분공간이므로 모든 원소가 범함수이고 \(B\)에서 조밀한 가산집합 \[F = \{f_1,\,f_2,\,\ldots\} \subset B\]가 존재한다. 각 \(n \geq 1\)에 대해, \(\lVert w_n \rVert = 1\)이고 \(f_n(w_n) \geq \frac{1}{2}\)를 만족시키는 \(w_n\)을 택하고, \(W = \overline{\operatorname{Sp} \{w_1,\,w_2,\,\ldots\}}\)라고 하자. 그리고 \(W\)가 \(X\)의 진부분공간이라고 가정하자. 그러면 정리 4에 의해, \(f \in B\)가 존재하여 모든 \(w \in W\)에 대해 \(f(w) = 0\)을 만족시킨다. 그러면 임의의 \(n\ge 1\)에 대하여 다음을 얻는다. \[\begin{aligned} \frac{1}{2} & \leq |f_n(w_n)| = |f_n(w_n) - f(w_n)| \\[6pt] &\leq \lVert f_n - f \rVert \lVert w_n \rVert = \lVert f_n - f \rVert, \quad n \geq 1 . \end{aligned}\] 이것은 \(F\)가 \(B\)에서 조밀하다는 사실에 모순이다. 그러므로 \(W = X\)이다. 이로써 \(\{w_1,\,w_2,\,\ldots\}\)의 유한 일차결합의 집합은 유리수 또는 복소유리수 스칼라 계수에 의하여 \(X\)에서 가산인 조밀부분집합을 형성하므로, \(X\)는 가분공간이다.
\(1 \leq p < \infty\)인 임의의 \(p\)에 대하여 \(\ell^p\)가 가분공간이지만, \(\ell^{\infty}\)는 가분공간이 아니다. 이것은 정리 6의 한 예이기도 하면서, 정리 6의 역이 성립하지 않음을 보이는 반례이기도 하다. 왜냐하면 \((\ell^1)'\)은 등거리동형사상에 의해 \(\ell^{\infty}\)와 동형이기 때문이다. 더욱이 정리 6에 의하여 \((\ell^{\infty})'\)은 가분공간이 아니므로, \(\ell^1\)은 \((\ell^{\infty})'\)와 동형일 수 없다.