일반적인 공간에서의 한-바나흐 정리

증명

다음 조건을 만족시키는 \(X\)에서의 선형범함수 \(f\)의 집합을 \(\mathcal{E}\)라 하자.

1. \(f\)는 \(W \subset D_f \subset X\)를 만족하는 선형부분공간 \(D_f\)에서 정의된다.
2. 임의의 \(w \in W\)에 대하여 \(f(w) = f_W(w)\)이다.
3. 임의의 \(x \in D_f\)에 대하여 \(f(x) \leq p(x)\)이다.

즉, \(\mathcal{E}\)는 정의역에서 정리의 가정을 만족하는, 일반적인 부분공간 \(D_f \subset X\)에 대한 \(f_W\)의 모든 확장 \(f\)의 집합이다. 우리는 \(\mathcal{E}\)에 Zorn의 보조정리를 적용하여, 그 결과로 나오는 \(\mathcal{E}\)의 극대원소가 바라는 범함수임을 보일 것이다. 먼저, \(\mathcal{E}\)가 Zorn의 보조정리의 가정을 만족시키는지 확인하자.

\(f_W \in \mathcal{E}\)이므로 \(\mathcal{E} \neq \varnothing\)이다. 다음으로, \(\mathcal{E}\)에서 관계 \(\prec\)를 다음과 같이 정의한다. 즉 임의의 \(f, g \in \mathcal{E}\)에 대해, \(f \prec g\)이기 위한 필요충분조건을 \(D_f \subset D_g\)이면서 임의의 \(x \in D_f\)에 대하여 \(f(x) = g(x)\)인 것으로 정의한다. 즉, \(f \prec g\)는 \(g\)가 \(f\)의 확장함수인 경우이다. 이 관계 \(\prec\)는 \(\mathcal{E}\)에서 반순서임을 쉽게 확인할 수 있다. (이 순서는 전순서가 아니다. \(f_W\)의 확장이면서도 서로 확장관계가 아닌 범함수 \(f,\, g \in \mathcal{E}\)가 존재하기 때문이다.) 이제 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{E}\)가 전순서집합이라고 가정하자. (\(\mathcal{G}\)가 전순서집합이라는 것은 임의의 \(f,\, g \in \mathcal{G}\)에 대하여, 이 범함수들 중 하나가 다른 것의 확장인 경우이다.)

집합 \(\mathcal{E}\)에서 \(\mathcal{G}\)의 상계를 구성하자. 집합 \[Z_{\mathcal{G}} = \bigcup_{f \in \mathcal{G}} D_f\] 를 정의하자. \(\mathcal{G}\)에서의 전순서관계를 사용하면, \(Z_{\mathcal{G}}\)가 \(X\)의 부분벡터공간임을 확인할 수 있다. 이제 \(Z_{\mathcal{G}}\)에서 선형범함수 \(f_{\mathcal{G}}\)를 정의하자. \(z \in Z_{\mathcal{G}}\)를 선택하자. 그러면 \(z \in D_{\xi}\)를 만족시키는 \(\xi \in \mathcal{E}\)가 존재한다. 이때 \(f_{\mathcal{G}}(z) = \xi(z)\)라고 정의한다. (이 같은 정의는 \(\xi\)에 의존하지 않는다. 왜냐하면, \(\eta\)가 \(z \in D_{\eta}\)를 만족하는 \(\mathcal{G}\)의 또 다른 범함수라면, \(\mathcal{G}\)의 순서관계에 의해 \(\xi(z) = \eta(z)\)이기 때문이다.) 다시 \(\mathcal{G}\)의 전순서를 사용하여 \(f_{\mathcal{G}}\)가 선형임을 확인할 수 있다. 또한 \(\xi \in \mathcal{E}\)이므로, \(f_{\mathcal{G}}(z) = \xi(z) \leq p(z)\)이고, \(z \in W\)이면 \(f_{\mathcal{G}}(z) = f_W(z)\)이다. 따라서 \(f_{\mathcal{G}} \in \mathcal{E}\)이고 모든 \(f \in \mathcal{G}\)에 대해 \(f \prec f_{\mathcal{G}}\)이다. 그래서 \(f_{\mathcal{G}}\)는 \(\mathcal{G}\)의 상계이다.

Zorn의 보조정리의 모든 가정이 만족됨을 보였으므로, \(\mathcal{E}\)에는 극대원소 \(f_{max}\)를 가진다. 이제 정의역이 \(D_{f_{max}} \neq X\)라고 가정하자. \(f_{max}\)의 확장함수가 존재하며, 이 확장함수는 \(\mathcal{E}\)에도 존재한다. 그러나 이것은 \(\mathcal{E}\)에서 \(f_{max}\)가 극대원소라는 사실에 모순이다. 따라서 \(D_{f_{max}} = X\)이다. 그러므로 \(f_X = f_{max}\)가 바라는 확장함수이다.

증명

\(x, \,y \in X\)에 대해, \(p_C(x) < \alpha ,\) \(p_C(y) < \beta\)를 만족시키는 임의의 \(\alpha ,\) \(\beta\)를 택하고, \(s = \alpha + \beta\)라고 하자. \(p_C\)의 정의에 의해 \(\alpha^{-1}x \in C ,\) \(\beta^{-1}y \in C\)이고, \(C\)가 볼록집합이므로 \[\frac{1}{s}(x + y) = \frac{\alpha}{s}\alpha^{-1}x + \frac{\beta}{s}\beta^{-1}y \in C\] 이다. 따라서 \(p_C(x + y) \leq s\)이고, \(\alpha\)와 \(\beta\)가 임의의 원소이므로, \[p_C(x + y) \leq p_C(x) + p_C(y)\] 이다. 그러므로 \(p_C\)는 부분선형이다.

이제 \(C\)가 적당한 \(\delta > 0\)에 대해 열린공 \(B_0(\delta)\)를 포함하므로, \(p_C\)의 정의에 의하여 다음이 성립한다. \[\lVert z \rVert < \delta \quad\Rightarrow\quad z \in C \quad\Rightarrow\quad |p_C(z)| \leq 1 .\] 한편 \(z = \frac{1}{2}\delta x/\lVert x \rVert\)라고 두면 (4)를 얻는다.

끝으로 \(x \in C\)라고 가정하자. \(C\)가 열린집합이므로 적당한 \(\alpha < 1\)이 존재하여 \(\alpha^{-1}x \in C\)이고, 따라서 \(p_C(x) \leq \alpha < 1\)이다. 반면에, \(p_C(x) < 1\)이라면 적당한 \(\alpha < 1\)에 대하여 \(\alpha^{-1}x \in C\)이고, \(0 \in C\)이며, \(C\)가 볼록하므로, \(x = \alpha(\alpha^{-1}x) + (1 - \alpha)0 \in C\)이다. 따라서 (3)이 성립한다.

증명

실노름공간에 대한 경우만 증명해도 충분하다.

1. \(a_0 \in A\), \(b_0 \in B\)를 택하고, \(w_0 = b_0 - a_0\)이고, \(C = w_0 + A - B\)라고 하자. 그러면 \(C\)는 \(0\)을 원소로 갖는 열린 볼록집합이므로, 민콥스키 범함수 \(p_C\)가 잘 정의되며, 이 범함수는 부분선형이 된다. 또한 \(A\)와 \(B\)가 서로소이므로 \(w_0 \not\in C\)이고, 따라서 (3)에 의해, \(p_C(w_0) \geq 1\)이다.
   \(W = \operatorname{Sp} \{w_0\}\)이라고 하고, \(W\)에서 선형범함수 \(f_W\)를 \(\alpha \in \mathbb{R}\)에 대하여 \(f_W(\alpha w_0) = \alpha\)라고 정의하자. \(\alpha \geq 0\)이면 \[f_W(\alpha w_0) \leq \alpha p_C(w_0) = p_C(\alpha w_0)\] 이고, \(\alpha < 0\)이면 \[f_W(\alpha w_0) < 0 \leq p_C(\alpha w_0)\] 이다. 따라서 \(f_W\)는 (1)을 만족시키고, 한-바나흐 정리에 의해, \(f_W\)는 (2)를 만족시키는 \(X\)에서의 확장함수 \(f\)를 가진다. 이 결과와 (4)와 부등식 \[-p(-x) \le -f_X (-x) = f_X (x) \le p(x)\] 를 결합하면 \(f \in X'\)이라는 결론을 얻는다.
   이제 임의의 \(a \in A\), \(b \in B\)에 대하여 \(w_0 + a - b \in C\)이므로 보조정리 6에 의하여 \[1 + f(a) - f(b) = f(w_0 + a - b) \leq p(w_0 + a - b) < 1\] 이다. 따라서 \(\gamma = \inf\{f(b) \,\vert\, b \in B\}\)라고 정의하면 다음을 얻는다. \[f(a) \leq \gamma \leq f(b), \quad a \in A,\,b \in B. \tag{7}\] 이 부등식으로부터 (5)를 얻기 위하여 \(f(a) = \gamma\)를 만족하는 \(a \in A\)가 있다고 가정하자. \(A\)가 열린집합이므로 충분히 작은 \(\delta > 0\)이 존재하여 \(a + \delta w_0 \in A\)이고, 따라서 \[f(a + \delta w_0) = f(a) + \delta f_W(w_0) = \gamma + \delta > \gamma\] 이다. 이것은 (7)에 모순이다. 따라서 (5)가 성립한다.
2. 가정으로부터 \[\epsilon = \frac{1}{4}\inf\{\lVert a - b \rVert : a \in A,\,b \in B\} > 0\] 임을 확인할 수 있다. 이제 \[A_{\epsilon} = A + B_{\epsilon}(0), \quad B_{\epsilon} = B + B_{\epsilon}(0)\] 이라고 하자. \(A_{\epsilon}\)과 \(B_{\epsilon}\)은 열린 볼록집합이고 \(A_{\epsilon} \cap B_{\epsilon} = \emptyset\)이다. 따라서 \(A\), \(B\)를 \(A_{\epsilon}\), \(B_{\epsilon}\)으로 대체하면 (5)가 성립한다. 이제 \(\delta = \frac{1}{2}\epsilon/\lVert w_0 \rVert\)이라 하자. 그러면, 임의의 \(a \in A\)에 대해 \(a + \delta w_0 \in A_{\epsilon}\)이고, 따라서 \[f(a) = f(a + \delta w_0) - \delta f_W(w_0) \leq \gamma - \delta\] 이다. 마찬가지로 임의의 \(b\in B\)에 대하여 \(\gamma + \delta \leq f(b)\)이다. 그러므로 (6)이 성립한다.

증명

\(W = \operatorname{Ker} h\)가 \(0\)을 지나는 초평면이라고 가정하자. \(h\)는 영함수가 아니므로, \(h(z) \neq 0\)인 \(z \in X\)가 존재한다. 즉 \(z \in X \setminus W\)이고, 따라서 \(W \neq X\)이다. 이제, \(y \in X \setminus W\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 \(W\)의 정의에 의하여 \(h(y) \neq 0\)이다. 이제 임의의 \(x \in X\)에 대하여 \(\beta = h(x)/h(y)\)라고 두고, \(x\)를 \[x = x - \beta y + \beta y\] 와 같이 나타내자. 명백하게 \(h(x - \beta y) = 0\)이므로 \(x - \beta y \in W\)이며, 이로부터 \(X = W \oplus \operatorname{Sp} \{y\}\)를 얻는다. 왜냐하면 \(W \cap \operatorname{Sp} \{y\} = \{0\}\)이기 때문이다.

이제 \(X = W \oplus \operatorname{Sp} \{y\}\)를 만족시키는 적당한 \(y \in X\)가 존재한다고 가정하자. 우리는 \(X\)에서 범함수 \(h\)를 정의할 수 있다. 즉, 임의의 \(x \in X\)는 \(x = w + \alpha y\) 형태로 쓸 수 있고, 여기서 \(w \in W ,\) \(\alpha \in \mathbb{F}\)이므로, \(h(x) = \alpha\)로 정의할 수 있다. \(h\)가 \(0\)이 아닌 선형범함수이고 \(W = \operatorname{Ker} h\)임은 명백하다. 따라서 \(W\)는 \(0\)을 지나는 초평면이다.