\(X\)와 \(Y\)가 노름공간일 때 \(X\)와 \(Y\) 사이의 연속선형연산자의 모임을 \(B(X,\,Y)\)로 나타낸다. 특히 \(Y=\mathbb{F}\)인 경우 \(B(X,\,\mathbb{F})\)를 \(X\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부르고 \(X ' \)으로 나타낸다.
일반적으로 쌍대공간의 원소를 개별적으로 살펴보는 일은 비교적 쉽지만, 쌍대공간 전체의 특징을 식별하는 일은 어렵다. 이 글에서는 우선 유한차원 공간의 쌍대공간의 성질을 살펴본 후, 무한차원 공간의 쌍대공간의 성질을 밝히기 위한 정리를 살펴보자.
쌍대공간의 성질을 살펴보기 위하여 새로운 표기법을 소개한다. 임의의 정수 \(j\), \(k\)에 대해 \(\delta_{jk}\)를 다음과 같이 정의한다. \[\delta_{jk} = \begin{cases} 1 & \text{if}\ j = k , \\[6pt] 0 & \text{if}\ j \neq k . \end{cases}\] 이와 같이 정의된 \(\delta_{jk}\)를 크로네커 델타(Kronecker delta)라고 부른다.
정리 1. (유한차원 노름공간의 쌍대공간)
\(X\)가 기저 \(\{v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_n\}\)을 가진 유한차원 노름공간이면 쌍대공간 \(X'\)은 \[f_j(v_k) = \delta_{jk} , \quad 1 \leq j \leq n, \quad 1\leq k \leq n\] 을 만족시키는 기저 \(\{f_1,\,f_2,\,\ldots,\,f_n\}\)을 가진다. 특히, \(\dim X' = \dim X\)이다.
증명
\(x \in X\)라 하자. \(\{v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_n\}\)이 \(X\)의 기저이므로, \[x = \sum_{k=1}^n \alpha_k v_k\]를 만족시키는 유일한 스칼라 \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\ldots,\,\alpha_n\)이 존재한다. \(j = 1,\,\ldots,\,n\)에 대해, \(f_j : X \rightarrow \mathbb{F}\)를 다음과 같이 정의하자. \[f_j(x) = \alpha_j, \quad x \in X.\] \(f_j\)는 \(f_j(v_k) = \delta_{jk}\)를 만족하는 선형변환이다. 더욱이 \(f_j \in X'\)이다.
이제 \(\{f_1,\,f_2,\,\ldots,\,f_n\}\)이 \(X'\)의 기저임을 보이자.
스칼라 \(\beta_1,\,\beta_2,\,\ldots,\,\beta_n\)이 \[\sum_{j=1}^n \beta_j f_j = 0\]을 만족시킨다고 가정하자. 그러면, \[0 = \sum_{j=1}^n \beta_j f_j(v_k) = \sum_{j=1}^n \beta_j \delta_{jk} = \beta_k, \quad 1 \leq k \leq n\] 이다. 따라서 \(\{f_1,\,f_2,\,\ldots,\,f_n\}\)은 일차독립이다.
이제 임의의 \(f \in X'\)에 대해, \(\gamma_j = f(v_j),\,j = 1,\,\ldots,\,n\)이라 하자. 그러면 \[\sum_{j=1}^n \gamma_j f_j(v_k) = \sum_{j=1}^n \gamma_j \delta_{jk} = \gamma_k = f(v_k), \quad 1 \leq k \leq n\] 이고 \(\{v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_n\}\)이 \(X\)의 기저이므로 \(f = \sum_{j=1}^n \gamma_j f_j\)이다.
\(X\)가 유한차원 노름공간일 때, \(X'\)의 차원을 구하는 것뿐만 아니라 정리 1에서 주어진 특별한 기저의 존재를 밝히는 것이 중요한 경우가 있다. 그런 경우 중 하나는 \(Y\)가 노름공간 \(X\)의 유한차원 부분벡터공간일 때 발생한다. \(\{v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_n\}\)이 \(Y\)의 기저이고 \(\{f_1,\,f_2,\,\ldots,\,f_n\}\)이 \(f_j(v_k) = \delta_{jk}\)를 만족하는 \(Y'\)의 기저라고 가정하자. \(\{g_1,\,g_2,\,\ldots,\,g_n\} \in X'\)의 원소를 사용하여 임의의 \(y \in Y\)에 대해 \(g(y) = f(y)\)를 만족시키는 것을 찾을 수 있다면, 이는 \(Y\)의 원소를 구별하는 \(X'\)의 \(n\)개 원소를 구한 것이다. 그러한 범함수 \(g_j\)를 찾는 것은 범함수 \(f_j\)의 정의역을 부분공간 \(Y\)에서 전체 공간 \(X\)로 확장하는 것과 같다. 이러한 확장 과정은 한-바나흐 정리의 주제이며, 이는 다음 글에서 살펴볼 것이다.
다음으로 일반적인 힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)의 쌍대공간을 살펴보자. 임의의 \(y \in \mathcal{H}\)에 대해 \(f_y \in \mathcal{H}'\)를 \[f_y(x) = \langle x,\,y \rangle, \quad x \in \mathcal{H}\] 로 정의할 수 있다. 이는 \(\mathcal{H}'\)의 원소 집합을 \(\mathcal{H}\) 자체에 대응시킨다. 다음 정리는 실제로 \(\mathcal{H}'\)의 모든 원소가 이러한 형태임을 보여준다.
정리 2. (리츠-프레셰 정리)
\(\mathcal{H}\)가 힐베르트 공간이고 \(f \in \mathcal{H}'\)라 하자. 그러면 “임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대해 \(f(x) = f_y(x) = \langle x,\,y\rangle\)”를 만족시키는 유일한 \(y \in \mathcal{H}\)가 존재한다. 또한 \(\lVert f \rVert = \lVert y \rVert\)이다.
증명
존재성과 유일성을 증명한다.
- (존재성) 모든 \(x \in \mathcal{H}\)에 대해 \(f(x) = 0\)이면 \(y = 0\)으로 증명이 끝난다.
그렇지 않으면, \(\operatorname{ker} f = \{x \in \mathcal{H} \,\vert\, f(x) = 0\}\)은 \(\mathcal{H}\)의 닫힌 진부분공간이므로 \((\operatorname{ker} f)^{\perp} \neq \{0\}\)이다. 따라서 \(f(z) = 1\)을 만족시키는 \(z \in (\operatorname{ker} f)^{\perp}\)이 존재한다. 특히, \(z \neq 0\)이므로 \(y = \frac{z}{\lVert z \rVert^2}\)를 정의할 수 있다.
이제 \(x \in \mathcal{H}\)가 임의로 주어졌다고 하자. \(f\)가 선형이므로 \[f(x - f(x)z) = f(x) - f(x)f(z) = 0\] 이다. 따라서 \(x - f(x)z \in \operatorname{ker} f\)이다. 그런데 \(z \in (\operatorname{ker} f)^{\perp}\)이므로 \[\langle x - f(x)z,\,z \rangle = 0\] 이다. 따라서 \(\langle x,\,z\rangle - f(x)\langle z,\,z \rangle = 0\)이고 \(\langle x,\,z\rangle = f(x)\lVert z \rVert^2\)이다. 그러므로 \[f(x) = \left\langle x,\,\frac{z}{\lVert z \rVert^2}\right\rangle = \langle x,\,y \rangle\] 이다. 이제 \(\lVert x \rVert \leq 1\)이면 코시-슈바르츠 부등식에 의해 \[|f(x)| = |\langle x,\,y \rangle | \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert \leq \lVert y \rVert\] 이다. 따라서 \(\lVert f \rVert \leq \lVert y \rVert\)이다. 반면에, \(x = \frac{y}{\lVert y \rVert}\)이면 \(\lVert x \rVert = 1\)이고 \[\lVert f \rVert \geq |f(x)| = \frac{|f(y)|}{\lVert y \rVert} = \frac{\langle y,\,y \rangle}{\lVert y \rVert} = \lVert y \rVert\] 이다. 그러므로 \(\lVert f \rVert \geq \lVert y \rVert\)이다. - (유일성) \(y\)와 \(w\)가 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 \[f(x) = \langle x,\,y\rangle = \langle x,\,w \rangle\] 를 만족시킨다면, 모든 \(x \in \mathcal{H}\)에 대해 \(\langle x,\,y - w\rangle = 0\)이다. 따라서 \(y - w = 0\)이고 \(y = w\)이다.
정리 2는 일반적인 힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)의 쌍대공간 \(\mathcal{H}'\)의 원소의 형태를 제공하며, 어떤 의미에서는 \(\mathcal{H}\)의 특징으로부터 \(\mathcal{H}'\)의 특징을 밝히는 방법을 제공한다. 다음 결과는 이 방법을 더 정확한 방식으로 서술하고, \(\mathcal{H}'\) 자체가 힐베르트 공간임을 설명한다.
정리 3. (힐베르트 공간의 쌍대공간의 특징)
\(\mathcal{H}\)가 힐베르트 공간이고, \(T_{\mathcal{H}} : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}'\)를 \[T_{\mathcal{H}}y = f_y, \quad y \in \mathcal{H}\]로 정의하자. 그러면 \(T_{\mathcal{H}}\)는 일대일대응이고, 임의의 \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F},\,y,\,z \in \mathcal{H}\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(T_{\mathcal{H}}(\alpha y + \beta z) = \alpha T_{\mathcal{H}}y + \beta T_{\mathcal{H}}z .\)
- \(\lVert T_{\mathcal{H}}y \rVert = \lVert y \rVert .\)
또한 \(\mathcal{H}'\)에서 내적 \(\langle \cdot,\,\cdot \rangle_{\mathcal{H}'}\)를 다음과 같이 정의할 수 있다. \[\langle T_{\mathcal{H}}z,\,T_{\mathcal{H}}y \rangle_{\mathcal{H}'} = \langle y,\,z \rangle_{\mathcal{H}}, \quad y,\,z \in \mathcal{H} . \tag{1}\] 여기서 내적이 정의된 공간을 구별하기 위해 아래 첨자를 사용하였다. 이 내적에 대하여 \(\mathcal{H}'\)은 힐베르트 공간이다.
증명
\(T_{\mathcal{H}}\)가 일대일대응이라는 사실과 (b)는 정리 2에 의하여 곧바로 얻는다. 다음으로, 모든 \(x \in \mathcal{H}\)에 대해 \[\begin{aligned} f_{\alpha y + \beta z}(x) &= \langle x,\,\alpha y + \beta z \rangle \\[6pt] &= \alpha \langle x,\,y \rangle + \beta \langle x,\,z\rangle \\[6pt] &= \alpha f_y(x) + \beta f_z(x) \end{aligned}\] 이므로, (a)가 성립한다.
이제 (1)이 내적을 정의함을 확인하자. 먼저 \[\langle f_y,\,f_y \rangle_{\mathcal{H}'} = \langle y,\,y \rangle_{\mathcal{H}} \geq 0\]이고, \(y = 0\)일 때, 즉 \(f_y = 0\)일 때에만 등호가 성립한다. 또한 \[\begin{aligned} \langle f_z,\,f_y \rangle _{\mathcal{H}'} = \langle y,\,z \rangle _{\mathcal{H}} = \overline{\langle z,\,y \rangle }_{\mathcal{H}} = \overline{\langle f_y,\,f_z \rangle }_{\mathcal{H}'} \end{aligned}\] 이고 \[\begin{aligned} \langle \alpha f_y + \beta f_z,\,f_w \rangle_{\mathcal{H}'} &= \langle w,\,\alpha y + \beta z \rangle_{\mathcal{H}} \\[6pt] &= \alpha \langle w,\,y \rangle_{\mathcal{H}} + \beta \langle w,\,z \rangle_{\mathcal{H}} \\[6pt] &= \alpha \langle f_y,\,f_w \rangle_{\mathcal{H}'} + \beta \langle f_z,\,f_w \rangle_{\mathcal{H}'} \end{aligned}\] 이다.
또한 쌍대공간으로서의 \(\mathcal{H}'\)의 노름은 (1)에서 정의된 내적으로부터 얻어지는 노름과 동일함을 보여야 한다. \[\lVert f_y \rVert^2 = \lVert y \rVert^2 = \langle y,\,y \rangle_{\mathcal{H}} = \langle f_y,\,f_y\rangle_{\mathcal{H}'}\] 이므로, 정리 2로부터 그 결과를 얻는다.
마지막으로 \(X\)가 노름벡터공간일 때 \(X '\)이 완비이므로, \(\mathcal{H}'\)이 완비이다.
만약 \(\mathbb{F} = \mathbb{C}\)라면 정리 3의 (a)에 의해 \(T_{\mathcal{H}}\)는 선형이 아니다. 이러한 대응을 켤레선형(conjugate linear)이라고 부른다.
이제 바나흐 공간 \(\ell^p ,\) \(1 \leq p < \infty\)의 쌍대공간을 살펴보자. 이를 위하여 다음 보조정리가 필요하다.
보조정리 4. (\(\ell ^p\) 공간의 특징)
정수 \(k \geq 1\)에 대해, \(S_k \subset \ell^{\infty}\)를 \[x = (x_1,\,\ldots,\,x_k,\,0,\,0,\,\ldots)\] 형태의 수열의 집합이라 하고, \[S = \bigcup_{k \geq 1} S_k\]라고 하자. \(1 \leq p < \infty\)일 때, 집합 \(S\)는 \(\ell^p\)에서 조밀하지만, \(\ell^{\infty}\)에서는 조밀하지 않다.
다음 정리에서 \(\ell^p\)의 노름을 \(\lVert \cdot \rVert_p\)로 표기하고, \(f \in (\ell^p)'\)의 노름을 단순히 \(\lVert f \rVert\)로 표기하기로 한다.
정리 5. (\(\ell ^p\) 공간의 쌍대공간)
\(1 \leq p < \infty\)라고 하자. \(p > 1\)이면, \(q = p/(p-1)\)이라고 하고, \(p = 1\)이면, \(q = \infty\)라고 하자.
- \(a = \{a_n\} \in \ell^q\)이면, 임의의 \(x = \{x_n\} \in \ell^p\)에 대하여 \(\{a_n x_n\} \in \ell^1\)이다. 또한 \[f_a(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x_n, \quad x \in \ell^p\] 이라고 정의된 함수 \(f_a\)는 \(\lVert f_a \rVert = \lVert a \rVert_q\)와 \(f_a \in (\ell^p)'\)을 만족시키는 선형범함수이다.
- \(f \in (\ell^p)'\)이면 \(f = f_a\)를 만족시키는 유일한 \(a \in \ell^q\)가 존재한다.
- \(T_p : \ell^q \rightarrow (\ell^p)'\)를 \(T_p(a) = f_a,\,a \in \ell^q\)로 정의하면, \(T_p\)는 선형이며 등거리동형사상이다.
증명
\(p = 1\)인 경우와 \(p > 1\)인 경우를 따로 다루자. 우선 \(p > 1\)인 경우를 살펴보자.
- \(f_a\)의 선형성은 명확하다. 또한 첫 번째 결과와 부등식 \(\lVert f_a \rVert \leq \lVert a \rVert_q\)는 횔더 부등식에 의하여 성립한다. 부등식 \(\lVert a \rVert_q \leq \lVert f_a \rVert\)는 (b)에서 증명한다.
- \(f \in (\ell^p)'\)가 임의로 주어졌다고 하자. 수열
\[a_n = f(\tilde{e}_n), \quad n \geq 1\]
을 정의하자. 임의의 정수 \(k \geq 1\)에 대해, \(\gamma \in S_k\)를 \(a_n \gamma_n = |a_n|^q\)를 만족시키는 \(\gamma_n \in \mathbb{F}\)를 선택하여 정의하자. (단, \(a_n = 0\)이면 \(\gamma_n = 0\)으로 정한다.) 그러면 \(q\)의 정의에 의해, \(|\gamma_n|^p = |a_n|^q\)이고, 따라서
\[\left|f\left(\sum_{n=1}^{k} \gamma_n e_n\right)\right| = \left|\sum_{n=1}^{k} \gamma_n a_n\right| = \sum_{n=1}^{k} |a_n|^q \leq \lVert f \rVert \lVert \gamma \rVert_p = \lVert f \rVert \left(\sum_{n=1}^{k} |a_n|^q\right)^{1/p}\]
이다. 그런데 \(1 - \frac{1}{p} = \frac{1}{q}\)이므로
\[\left(\sum_{n=1}^{k} |a_n|^q\right)^{1/q} \leq \lVert f \rVert\]
이다. \(k\)가 임의이므로, 이는 \(a = \{a_n\} \in \ell^q\)라는 사실을 보여준다. 즉 \(\lVert a \rVert_q \leq \lVert f \rVert\)이고, 따라서 (a)에 의해, 수열 \(a\)에 대응되는 범함수 \(f_a\)가 존재한다. 더욱이, 임의의 \(k \geq 1\)과 \(x \in S_k\)에 대하여
\[f(x) = f\left(\sum_{n=1}^{k} x_n e_n\right) = \sum_{n=1}^{k} x_n a_n = f_a(x)\]
이다. 따라서 \(S\) 위에서 \(f = f_a\)이고, \(S\)가 \(\ell^p\)에서 조밀하므로, \(\ell^p\)에서 \(f = f_a\)이다. 이는 임의의 \(f \in (\ell^p)'\)에 대해 적절한 \(a \in \ell^q\)가 존재함을 보여준다. 또한, \(\ell^q\)에서 \(a = b\)인 것과 \(S\)에서 \(f_a = f_b\)인 것이 동치임은 자명하고, \(S\)가 \(\ell^p\)에서 조밀하므로 \(\ell^p\)에서 \(f_a = f_b\)인 것과도 동치이다. 이로써 유일성이 증명된다.
만약 범함수 \(f_b\)의 형태로 시작하여 어떤 \(b \in \ell^q\)에 대해 위의 수열 \(a\)를 구성하는 과정을 적용하면, 그 결과 단순히 \(a = b\)를 얻으므로, 위의 결과로부터 (a)에서 증명해야 하는 부등식 \(\lVert a \rVert_q \leq \lVert f_a \rVert\)를 얻는다.
이제 \(p = 1\)인 경우를 고려하자. 논의는 위와 유사하다. (a)는 자명하며, (b)는 부등식 \[|a_n| = |f(e_n)| \leq \lVert f \rVert \lVert e_n \rVert_{\infty} = \lVert f \rVert, \quad n \geq 1\] 에 의하여 얻어진다. 즉 \(a = \{a_n\} \in \ell^{\infty}\)이고 \(\lVert a \rVert_{\infty} \leq \lVert f \rVert\)이다.
끝으로 (a)와 (b)를 결합하면 (c)를 얻는다.
정리 5는 \(1 \leq p < \infty\)이고 \(q\)가 정리 5에서와 같을 때, 쌍대공간 \((\ell^p)'\)이 \(\ell^q\)와 같음을 보여준다. 더욱이, \(1 < p < \infty\)이면 \[\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\tag{2}\] 이고, \(p\)와 \(q\)의 대칭성과 정리 5에 의해, \((\ell^q)'\)의 쌍대공간이 \(\ell^p\)와 같다. \(p = 1,\,q = \infty\)일 때, \(1/\infty = 0\)으로 해석하면 (2)도 성립한다. 따라서 \(p = \infty,\) \(q = 1\)인 경우도 같은 방법으로 고려하는 것이 합리적으로 보인다. 이 경우 정리 5의 증명은 대응하는 함수 \[T_{\infty} : \ell^1 \rightarrow (\ell^{\infty})'\] 이 잘 정의되고 등거리임을 보여주지만, 이 함수가 위로의 함수임을 보이지는 못한다. 왜냐하면 보조정리 4에 의해 \(S\)는 \(\ell^{\infty}\)에서 조밀하지 않기 때문이다. 실제로, \(\ell^1\)은 \((\ell^{\infty})'\)와 동형이 아니다.
한편, 정리 5와 유사한 결과가 공간 \(L^p(\mathbb{R}),\) \(p \geq 1\)에 대해서도 성립한다. 또한 우리가 논의한 다른 표준 노름공간의 쌍대공간을 구하는 것도 가능하다. 하지만 대부분의 경우 이것은 측도론에 대한 더 많은 지식이 필요하므로, 여기서 상세한 내용을 다루지는 않겠다.