컴팩트 연산자

증명

\(T\)가 연속이 아니라고 가정하자. 그러면 각 정수 \(n \geq 1\)에 대해, \(\|Tx_n\| \geq n\)인 단위벡터 \(x_n\)이 존재한다. 수열 \(\{x_n\}\)이 유계이므로 \(T\)의 컴팩트성에 의해 수렴하는 부분수열 \(\{Tx_{n(r)}\}\)이 존재한다. 그러나 이는 \(\|Tx_{n(r)}\| \geq n(r)\)이라는 조건에 모순이다. 따라서 \(T\)는 연속이다.

증명

1. \(X\)에서 유계수열 \(\{x_n\}\)이 주어졌다고 하자. \(S\)가 컴팩트연산자이므로 \(\{Sx_{n(r)}\}\)의 수렴하는 부분수열 \(\{x_{n(r)}\}\)이 존재한다. 마찬가지로 \(\{x_{n(r)}\}\)이 유계이고 \(T\)가 컴팩트연산자이므로 \(\{Tx_{n(r(s))}\}\)의 수렴하는 \(\{x_{n(r)}\}\)의 부분수열 \(\{x_{n(r(s))}\}\)가 존재한다. 따라서 수열 \(\{\alpha Sx_{n(r(s))} + \beta Tx_{n(r(s))}\}\)는 수렴한다. 그러므로 \(\alpha S + \beta T\)는 컴팩트연산자이다.
2. \(X\)에서 유계수열 \(\{x_n\}\)이 주어졌다고 하자. \(S\)가 컴팩트연산자이면 수렴하는 부분수열 \(\{Sx_{n(r)}\}\)이 존재한다. \(T\)가 연속이므로 수열 \(\{TSx_{n(r)}\}\)이 수렴한다. 따라서 \(TS\)는 컴팩트연산자이다.
   \(S\)가 연속이지만 컴팩트가 아닌 경우를 살펴보자. 수열 \(\{Sx_n\}\)이 유계이이고 \(T\)가 컴팩트연산자이므로, 수렴하는 부분수열 \(\{TSx_{n(r)}\}\)이 존재한다. 그러므로 \(TS\)는 컴팩트연산자이다.

증명

1. \(T\)가 유한랭크를 가지므로, 공간 \(Z = \operatorname{Im} T\)는 유한차원 노름공간이다. 또한, \(X\)에서 임의의 유계수열 \(\{x_n\}\)에 대하여, 수열 \(\{Tx_n\}\)은 \(Z\)에서 유계이므로, 볼자노-바이어슈트라스 정리에 의해 이 수열은 수렴하는 부분수열을 포함해야 한다. 따라서 \(T\)는 컴팩트연산자이다.
2. \(X\)의 차원이 유한이면 \(r(T) \leq \text{dim } X\)이므로 \(r(T)\)는 유한이다. \(Y\)의 차원이 유한이면 \(\operatorname{Im} T \subset Y\)의 차원도 유한이어야 한다. 따라서 두 경우 모두 (a)에 의하여 바라는 결론을 얻는다.

증명

\(X\)는 무한차원 노름공간이므로 수렴하는 부분수열을 갖지 않는 단위벡터의 수열 \(\{x_n\}\)이 \(X\)에 존재한다. 이때 수열 \(\{Ix_n\} = \{x_n\}\)은 수렴하는 부분수열을 갖지 않으므로, 연산자 \(I\)는 컴팩트가 아니다.

증명

\(T\)가 가역이라고 가정하자. 그러면 정리 3에 의해, \(X\) 위에서 정의된 항등연산자 \(I = T^{-1}T\)는 컴팩트연산자여야 한다. 그러나 \(X\)가 무한차원이므로 이는 정리 5에 모순이다.

증명

1. \(T\)가 컴팩트연산자라고 가정하자. \(A \subset X\)가 유계이고 \(\{y_n\}\)이 \(T(A)\)에서의 임의의 수열이라고 하자. 그러면 각 \(n \in \mathbb{N}\)에 대하여 \[\|y_n - Tx_n\| < \frac{1}{n}\] 인 \(x_n \in A\)가 존재한다. 이때 \(A\)가 유계이므로 수열 \(\{x_n\}\)은 유계이다. 따라서 \(T\)의 컴팩트성에 의하여, 수열 \(\{Tx_n\}\)은 수렴하는 부분수열을 포함하고, \(\{y_n\}\)은 \(T(A)\)의 점에 수렴하는 부분수열을 포함한다. \(\{y_n\}\)이 유계인 임의의 수열이므로 \(T(A)\)가 컴팩트이다.
   \(X\)의 임의의 유계부분집합 \(A\)에 대해 \(T(A) \subset Y\)가 상대적으로 컴팩트라고 가정하자. 그러면 \(X\)에서의 임의의 유계수열 \(\{x_n\}\)에 대해 수열 \(\{Tx_n\}\)은 컴팩트 집합에 속하므로 수렴하는 부분수열을 포함한다. 따라서 \(T\)는 컴팩트연산자이다.
2. 임의의 \(r \in \mathbb{N}\)에 대해, \(R_r = T(B_r(0)) \subset Y\)를 열린공 \(B_r(0) \subset X\)의 상이라고 하자. \(T\)가 컴팩트연산자이므로 집합 \(R_r\)은 상대적으로 컴팩트인 집합이며 가분이다. 또한 \(\operatorname{Im} T\)는 가산합집합 \[\bigcup_{r=1}^{\infty} R_r\]과 같으므로 가분이다. 마지막으로, \(\operatorname{Im} T\)의 부분집합이 \(\operatorname{Im} T\)에서 조밀하면 \(\overline{\operatorname{Im} T}\)에서도 조밀하므로, \(\overline{\operatorname{Im} T}\)는 가분이다.

증명

\(X\)에서 유계수열 \(\{x_n\}\)이 주어졌다고 하자. 컴팩트연산자의 정의에 의하여 \(\{T_1x_{n(1,r)}\}\)이 수렴하도록 하는 \(\{x_n\}\)의 부분수열 \(\{x_{n(1,r)}\}\)이 존재한다. 마찬가지로 \(\{T_2x_{n(2,r)}\}\)이 수렴하도록 하는 \(\{x_{n(1,r)}\}\)의 부분수열 \(\{x_{n(2,r)}\}\)가 존재한다. 또한 \(\{T_1x_{n(2,r)}\}\)은 \(\{T_1x_{n(1,r)}\}\)의 부분수열이므로 수렴한다.

이 과정을 귀납적으로 반복하면, 각 \(j \in \mathbb{N}\)에 대해 다음 성질을 가진 부분수열 \(\{x_{n(j,r)}\}\)이 존재함을 알 수 있다. “임의의 \(k \leq j\)에 대하여 수열 \(\{T_kx_{n(j,r)}\}\)은 \(r \to \infty\)일 때 수렴한다.” \(n(r) = n(r,\, r)\)이라고 하면, 각 \(k \in \mathbb{N}\)에 대하여, \(r \to \infty\)일 때 수렴하는 \(\{T_kx_{n(r)}\}\)의 부분수열 \(\{x_{n(r)}\}\)을 얻는다.

이제 수열 \(\{Tx_{n(r)}\}\)이 수렴함을 보이자. \(Y\)가 바나흐공간이므로 \(\{Tx_{n(r)}\}\)이 코시 수열임을 보이면 충분하다.

\(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 하자. 부분수열 \(\{x_{n(r)}\}\)은 유계이므로 모든 \(r \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\|x_{n(r)}\| \leq M\)인 \(M > 0\)이 존재한다. 또한, \(\|T_k - T\| \to 0\)이므로, \(\|T_K - T\| < \varepsilon/3M\)인 정수 \(K \geq 1\)이 존재한다. 다음으로 \(\{T_Kx_{n(r)}\}\)이 수렴하므로 \(r,\) \(s \geq R\)이면 \[\|T_Kx_{n(r)} - T_Kx_{n(s)}\| < \frac{\varepsilon}{3}\] 인 정수 \(R \geq 1\)이 존재한다. 그러면 \(r\), \(s \geq R\)에 대해 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} \|Tx_{n(r)} & - Tx_{n(s)}\| \\[6pt] & \leq \|Tx_{n(r)} - T_Kx_{n(r)}\| + \|T_Kx_{n(r)} - T_Kx_{n(s)}\| + \|T_Kx_{n(s)} - Tx_{n(s)}\| < \varepsilon \end{aligned}\] 그러므로 \(\{Tx_{n(r)}\}\)은 코시수열이다.

풀이

우선 \(T \in B(\ell^2)\)라는 사실을 알고 있다. 이제 각 \(k \in \mathbb{N}\)에 대해 연산자 \(T_k \in B(\ell^2)\)를 다음과 같이 정의하자. \[T_k\{a_n\} = \{b^k_n\}.\] 여기서 \[b^k_n = \begin{cases} n^{-1}a_n &\quad (\text{if } n \leq k) \\[6pt] 0 &\quad (\text{if } n > k) \end{cases}\] 이다. 연산자 \(T_k\)는 연속이고 선형이며 유한랭크를 가진다. 또한, 임의의 \(a \in \ell^2\)에 대하여 \[\|(T_k - T)a\|^2 = \sum_{n=k+1}^{\infty} \frac{|a_n|^2}{n^2} \leq (k + 1)^{-2} \sum_{n=k+1}^{\infty} |a_n|^2 \leq (k + 1)^{-2}\|a\|^2\] 이다. 따라서 \(\|T_k - T\| \leq (k + 1)^{-1}\)이고, \(\|T_k - T\| \to 0\)이다. 그러므로 따름정리 9에 의해 \(T\)는 컴팩트연산자이다.

증명

\(T\) 자체가 유한랭크를 가지면 자명하게 바라는 결론을 얻는다. 그러므로 \(T\)가 유한랭크를 갖지 않는다고 가정하자. 정리 7에 의하여 집합 \(\overline{\operatorname{Im} T}\)는 무한차원이고 가분인 힐베르트공간이므로, 정규직교기저 \(\{e_n\}\)을 가진다.

각 정수 \(k \geq 1\)에 대해, \(P_k\)를 \(\overline{\operatorname{Im} T}\)에서 부분벡터공간 \(M_k = \operatorname{Sp} \{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\)로의 직교사영이라고 하고, \(T_k = P_kT\)라 하자. \(\operatorname{Im} T_k \subset M_k\)이므로, 연산자 \(T_k\)는 유한랭크를 가진다.

\(k \to \infty\)일 때 \(\|T_k - T\| \to 0\)이 성립함을 보이자. 이것이 성립하지 않는다고 가정하자. 그러면 (필요하다면 수열 \(\{T_k\}\)의 부분수열을 취한 후) 모든 \(k\)에 대해 \(\|T_k - T\| \geq \varepsilon\)인 \(\varepsilon > 0\)이 존재한다. 따라서 모든 \(k\)에 대해 \(\|(T_k - T)x_k\| \geq \varepsilon/2\)인 \(X\)의 단위벡터 \(x_k\)의 수열이 존재한다. \(T\)가 컴팩트연산자이므로, 적당한 \(y \in \mathcal{H}\)가 존재하여 \(Tx_k \to y\)인 부분수열을 취할 수 있다. 이제 \(P_m\)의 정규직교전개를 사용하면 다음을 얻는다. \[\begin{aligned} (T_k - T)x_k &= (P_k - I)Tx_k \\[6pt] &= (P_k - I)y + (P_k - I)(Tx_k - y) \\[6pt] &= -\sum_{n=k+1}^{\infty} \langle y,\,e_n \rangle e_n + (P_k - I)(Tx_k - y). \end{aligned}\] 이 결과에 노름을 취하면 다음 부등식을 얻는다. \[\frac{\varepsilon}{2} \leq \|(T_k - T)x_k\| \leq \left(\sum_{n=k+1}^{\infty} |\langle y,\,e_n \rangle|^2\right)^{1/2} + 2\|Tx_k - y\| .\] \(k \to \infty\)일 때 이 부등식의 우변은 \(0\)에 수렴하는데, 이는 모순이다.

증명

먼저 \(r(T) < \infty\)이라고 가정하자. 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여, \(x\)를 \(\operatorname{Ker} T^*\)에 대해 \(x = u + v\)로 직교분해하자. 여기서 \(u \in \operatorname{Ker} T^*\)이고 \[v \in (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = \overline{\operatorname{Im} T} = \operatorname{Im} T\]이다. 그러면 \[T^*x = T^*(u+v) = T^*v\]이고, 따라서 \(\operatorname{Im} T^* = T^*(\operatorname{Im} T)\)이므로, \(r(T^*) \leq r(T)\). 따라서, \(r(T) < \infty\)일 때 \(r(T^*) \leq r(T)\)이다.

이 결과를 \(T^*\)에 적용하고, \((T^*)^* = T\)을 사용하면, \(r(T^*) < \infty\)일 때도 \(r(T) \leq r(T^*)\)임을 알 수 있다.

증명

\(T\)가 컴팩트연산자라고 가정하자. 그러면 정리 11에 의해 \(\|T_n - T\| \to 0\)인 유한랭크 연산자의 수열 \(\{T_n\}\)이 존재한다. 보조정리 12에 의해, 각 연산자 \(T^*_n\)은 유한랭크를 가지고, \(\|T^*_n - T^*\| = \|T_n - T\| \to 0\)이다. 따라서 따름정리 9에 의해 \(T^*\)는 컴팩트연산자이다. 그러므로, \(T\)가 컴팩트연산자이면 \(T^*\)도 컴팩트연산자이다.

이 결과와 등식 \((T^*)^* = T\)를 사용하면, \(T^*\)가 컴팩트연산자일 때 \(T\)도 컴팩트연산자라는 사실이 증명된다.