내적공간의 정규직교수열과 기저에 관한 이론을 바탕으로, 힐베르트 공간에서의 푸리에 급수의 이론적 기초를 전개할 수 있다. 이 글에서는 복소지수함수의 정규직교수열이 내적공간 \(L^2_\mathbb{C}[-\pi,\,\pi]\)의 기저를 형성함을 증명하고, \(L^2\) 공간에서의 다양한 정규직교기저를 살펴보자.
정리 1. (코사인 함수로 이루어진 정규직교기저)
함수 집합 \[C = \left\{c_0(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}},\,c_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cos nx \,\bigg\vert\, n \in \mathbb{N}\right\}\] 은 \(L^2[0,\,\pi]\)에서 정규직교기저를 이룬다.
증명
먼저 실내적공간 \(L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)에 대하여 증명하자. 집합 \(C\)가 정규직교라는 사실은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 \(\operatorname{Sp} C\)가 \(L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)에서 조밀함을 보이면 된다.
먼저 \(\|g_1 - f\| < \epsilon/2\)를 만족하는 함수 \(g_1 \in C_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)가 존재한다. (여기서 \(\|\cdot\|\)은 \(L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)의 노름을 의미한다.) 따라서 임의의 함수 \(g_1 \in C_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)에 대해 \(\|g_2 - g_1\| < \epsilon/2\)를 만족시키는 함수 \(g_2 \in \operatorname{Sp} C\)가 존재함을 보이면 충분하다. 그러면 \(\|g_2 - f\| < \epsilon\)을 만족하는 함수 \(g_2 \in \operatorname{Sp} C\)가 존재한다는 결론이 따르기 때문이다.
이제 \(g_1 \in C_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)이 임의로 주어졌다고 하자. 함수 \(\cos^{-1}: [-1,\,1] \to [0,\,\pi]\)는 연속이고 일대일대응인 함수이다. 따라서 \(s \in [-1,\,1]\)에 대해 \(h(s) = g_1(\cos^{-1} s)\)로 정의되는 함수 \(h \in C_\mathbb{R}[-1,\,1]\)를 정의할 수 있다. 스톤-바이어슈트라스 정리에 의하여, 다항식 \(p\)가 존재하여, 임의의 \(s \in [-1,\,1]\)에 대해 \(|h(s) - p(s)| < \epsilon/2\sqrt{\pi}\)를 만족시킨다. 그러므로 \(g_2(x) = p(\cos x)\)라고 하면, 모든 \(x \in [0,\,\pi]\)에 대해 \(|g_2(x) - g_1(x)| < \epsilon/2\sqrt{\pi}\)이고, 따라서 \(\|g_2 - g_1\| < \epsilon/2\)이다. 그런데 삼각함수의 변형 공식을 사용하면 형태가 \(\sum_{n=0}^m \alpha_n (\cos x)^n\)인 \(\cos x\)의 임의의 삼각다항식은 형태가 \(\sum_{n=0}^m \beta_n \cos nx\)인 삼각다항식으로 나타낼 수 있다. 이것은 \(g_2 \in \operatorname{Sp} C\)임을 의미한다. 이로써 실내적공간의 경우가 증명된다.
복소내적공간의 경우, 임의의 \(f \in L^2_\mathbb{C}[0,\,\pi]\)에 대해 \(f_R,\,f_C \in L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)를 각각 \(f\)의 실수부와 허수부에서 얻은 함수라 하고, 이미 증명한 결과를 이 함수들에 적용하면 다음을 얻는다. \[f = f_R + if_C = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n c_n + i\sum_{n=0}^{\infty} \beta_n c_n = \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha_n + i\beta_n)c_n .\] 그러므로 복소내적공간에 대해서도 같은 결론을 얻는다.
힐베르트 공간이 정규직교기저를 가질 필요충분조건은 그 공간이 가분인 것이다. 그러므로 다음 결과를 얻는다.
따름정리 2. (\(L^2 [ 0 , \,\pi ]\)의 가분성)
공간 \(L^2[0,\,\pi]\)는 가분이다.
이이서 사인 함수로 이루어진 정규직교기저를 살펴보자.
정리 3. (사인 함수로 이루어진 정규직교기저)
함수 집합 \[S = \left\{s_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin nx \,\bigg\vert\, n \in \mathbb{N}\right\}\] 은 \(L^2[0,\,\pi]\)에서 정규직교기저를 이룬다.
증명 개요 이전 정리의 증명과 비슷하므로, 대략적인 개요만 살펴보자. 이번에는 \(L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)에서 함수 \(f\)를 다음과 같이 정의된 함수 \(f_\delta\)로 근사한다. (단, \(\delta > 0\)이다.) \[f_\delta(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x \in [0,\,\delta], \\[6pt] f(x) & \text{if } x \in (\delta,\,\pi] . \end{cases}\] 명백히, 양수 \(\delta\)를 충분히 작게 선택하면 \(\|f - f_\delta\|\)를 임의로 작게 만들 수 있다. 그런 다음 함수 \(f_\delta(x) / \sin x\)는 \(L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)에 속하므로, 이전 증명의 결과에 의해 형태가 \(\sum_{n=0}^m \alpha_n \cos nx\)인 함수로 근사할 수 있다. 따라서 \(f(x)\)는 다음 형태의 함수로 근사할 수 있다. \[\sum_{n=0}^m \alpha_n \cos nx \sin x = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^m \alpha_n (\sin(n+1)x - \sin(n-1)x).\] 우변의 함수가 \(\operatorname{Sp} S\)의 원소이므로, 바라는 결과를 얻는다.
지금까지 살펴본 정리에 의하면, \(L^2[0,\,\pi]\)의 임의의 함수 \(f\)는 다음 두 가지 형태 중 하나로 표현될 수 있다. \[f = \sum_{n=0}^{\infty} \langle f,\,c_n \rangle c_n, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \langle f,\,s_n \rangle s_n .\tag{1}\] 여기서 수렴은 \(L^2[0,\,\pi]\)에서의 수렴이다. 이 급수들을 각각 \(f\)의 푸리에 코사인 급수 전개와 푸리에 사인 급수 전개라고 부른다.
다음 저일에서 푸리에 급수 전개의 다른 형태를 살펴보자.
따름정리 4. (복소지수함수로 이루어진 기저와 삼각함수로 이루어진 기저)
함수 집합 \[\begin{aligned} E &= \{e_n(x) = (2\pi)^{-1/2}e^{inx} \,\vert\, n \in \mathbb{Z}\}, \\[6pt] F &= \{2^{-1/2}c_0,\,2^{-1/2}c_n,\,2^{-1/2}s_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} \end{aligned}\] 은 각각 공간 \(L^2_\mathbb{C}[-\pi,\,\pi]\)에서 정규직교기저를 이룬다. 더욱이, 집합 \(F\)는 공간 \(L^2_\mathbb{R}[-\pi,\,\pi]\)에서도 정규직교기저를 이룬다. (집합 \(E\)의 함수들이 복소함수이므로 \(E\)는 공간 \(L^2_\mathbb{R}[-\pi,\,\pi]\)의 기저를 이루지 않는다.)
증명
집합 \(F\)가 \(L^2_\mathbb{F}[-\pi,\,\pi]\)에서 정규직교집합이라는 사실은 쉽게 확인할 수 있다. 이제 바라는 결론과는 반대로 \(F\)가 \(L^2_\mathbb{F}[-\pi,\,\pi]\)의 기저가 아니라고 가정하자. 그러면 영이 아닌 함수 \(f \in L^2_\mathbb{F}[-\pi,\,\pi]\)가 존재하여, 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대하여 \[\langle f,\,c_0 \rangle = 0, \quad \langle f,\,c_n \rangle = 0 , \quad \langle f,\,s_n \rangle = 0\] 을 만족시킨다. 이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. \[\begin{aligned} 0 &= \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \int_0^{\pi} (f(x) + f(-x)) \, dx, \\[6pt] 0 &= \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx = \int_0^{\pi} (f(x) + f(-x)) \cos nx \, dx, \\[6pt] 0 &= \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx = \int_0^{\pi} (f(x) - f(-x)) \sin nx \, dx . \end{aligned}\] 따라서 거의 모든 \(x \in [0,\,\pi]\)에 대하여 \[\begin{aligned} f(x) + f(-x) &= 0, \\[6pt] f(x) - f(-x) &= 0 \end{aligned}\] 이다. 그러므로 거의 모든 \(x \in [-\pi,\,\pi]\)에 대해 \(f(x) = 0\)이다. 이것은 \(L^2_\mathbb{F}[-\pi,\,\pi]\)에서 \(f \neq 0\)이라는 가정에 모순이다. 따라서 \(F\)는 기저이다.
다음으로 집합 \(E\)가 \(L^2_\mathbb{C}[-\pi,\,\pi]\)에서 정규직교라는 사실은 이미 증명하였다. 또한 공식 \[e^{in\theta} = \cos n\theta + i\sin n\theta\] 로부터 \(\operatorname{Sp} E\)가 \(\operatorname{Sp} F\)와 같음을 알 수 있다. 그러므로 \(E\) 역시 정규직교기저이다.
지금까지 살펴본 정리는 \(L^2\) 공간에서 푸리에 급수 이론을 전개하기 위한 기초를 제공한다. 푸리에 급수 이론에는 지금까지 살펴본 것보다 더 풍부한 내용이 있다. 예를 들어, 점별수렴 관점에서 다양한 급수의 수렴성이나, 구간의 모든 \(x\)에 대한 균등수렴성을 고려할 수 있다.
이 글에서 살펴본 정리에서 사용된 구간 \([0,\,\pi]\)과 \([-\pi,\,\pi]\)에는 닫힌 구간이라는 점 외에 다른 제약이 없다. 그러므로 증명 과정에서 변수변환 \[x \quad\to\quad \tilde{x} = a + \frac{(b - a)x}{\pi}\] 를 적용하면, 이 글에서 살펴본 정리를 일반적인 구간 \([a,\,b]\)에 대해서도 적용할 수 있다.