2024년 11월 14일에 실시한 대학수학능력시험 수학 선택과목 미적분(23번-30번) 풀이입니다. 문제의 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 풀이의 저작권은 이 블로그 주인에게 있습니다. (이메일: tomie＠ly4i.com)
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문제 23. 다음 값을 구하시오. [2점] \[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{3x^2}{\sin ^2 x} .\]
풀이
\(h\,\rightarrow\,0\)일 때 \((\sin h)/h\)가 \(1\)에 수렴한다는 사실을 사용하자. \[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{3x^2}{\sin ^2 x} = \lim_{x\rightarrow 0} \left\{ 3 \left( \frac{x}{\sin x} \right)^2 \right\} = 3\times 1^2 =3.\]
문제 24. 다음 값을 구하시오. [3점] \[\int_{0}^{10} \frac{x+2}{x+1} dx .\]
풀이
피적분함수의 식을 변형하자. \[\begin{aligned} \int_{0}^{10} \frac{x+2}{x+1}dx &= \int_{0}^{10} \left( 1+ \frac{1}{x+1} \right)dx \\[6pt] &= \Bigr[ x+\ln (x+1) \Bigr]_0^{10} \\[6pt] &= 10+\ln 11.\end{aligned}\]
문제 25. 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)에 대하여 \[\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{na_n}{n^2 +3} = 1\] 일 때, \[\lim_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt{ {a_n} ^2 + n } - a_n \right)\] 의 값을 구하시오. [3점]
풀이
문제에서 제시한 가정에 의하여 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n\rightarrow\infty} \left\{ \frac{na_n}{n^2 +3} \times \frac{n^2 +3}{n^2} \right\} = 1\] 이므로 \[\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt{ {a_n }^2 +n } -a_n \right) &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{ \sqrt{{a_n}^2 +n } +a_n } \\[6pt] &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt{ \left( \frac{a_n}{n} \right)^2 + \frac{1}{n}} + \frac{a_n}{n}} \\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{1^2 +0} +1} = \frac{1}{2} \end{aligned}\] 이다.
문제 26. 그림과 같이 곡선 \[y = \sqrt{ \frac{x+1}{x (x + \ln x)} }\] 과 \(x\)축 및 두 직선 \(x=1 ,\) \(x=e\)로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오. [3점]
풀이
\(1 \le t le e\)일 때 평면 \(x=t\)로 자른 단면의 넓이가 \[\frac{t+1}{t(t+\ln t)}\] 이므로, 구하는 도형의 부피는 다음과 같다. \[\int_1^e \frac{t+1}{t(t+\ln t)} dt = \int_1^e (t+ \ln t)^{-1} \left(1+ \frac{1}{t} \right) dt.\] 여기서 \(u = t+\ln t\)로 치환하면 \[\begin{gathered} u = t+\ln t ,\\[6pt] du = \left( 1+\frac{1}{t} \right) dt ,\\[6pt] t=1 \quad \Leftrightarrow \quad u=1 , \\[6pt] t=e \quad \Leftrightarrow \quad u=e+1 \end{gathered}\] 이므로, 앞의 적분은 다음과 같이 계산된다. \[\int_{1}^{1+e} \frac{1}{u} du = \Bigr[ \ln u \Bigr] _{1} ^{1+e} = \ln (1+e).\]
문제 27. 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \[g(x) = f(e^x ) +e^x\] 이라 하자. 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((0,\,\,g(0))\)에서의 접선이 \(x\)축이고 함수 \(g(x)\)가 역함수 \(h(x)\)를 가질 때, \( h ' (8) \)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((0,\,\,g(0))\)에서 접선이 \(x\)축이므로, \(g(0) =0\)이며 \(g'(0)=0\)이다.
함수 \(g\)의 도함수를 구하면 다음과 같다. \[g ' (x) = f ' (e^x ) e^x + e^x = e^x \left\{ f ' (e^x ) +1 \right\}.\] 그런데 함수 \(g\)의 역함수가 존재하려면 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(g ' (x) \ge 0\)이어야 한다. 즉 \[f ' (e^x ) +1 \ge 0\] 이므로 다음이 성립한다. \[t > 0 \,\,\Longrightarrow \,\, f ' (t) \ge -1 .\] 한편 \[g ' (0) = f ' (1) + 1 = 0\]이므로 \(f ' (1) = -1\)이다. 또한 \[g(0) = f(1)+1 = 0\]이므로 \(f(1) = -1\)이다.
\(f ' (1) = -1\)이므로 함수 \(f\)의 도함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[f ' (x) = 3(x-1)(x+b) - 1.\] 그런데 \(x > 0\)일 때 \(f '(x) \ge -1\)이므로, \[f ' (x) = 3x^2 + 3bx - 3x -3b -1 \ge -1\] 인데, 이 부등식을 변형하면 \[(x+b)(x-1) \ge 0\] 이다. 좌변은 이차식이며 \(x=1\)일 때 그 값이 \(0\)이다. 그러므로 \(x > 0\)일 때 좌변이 항상 \(0\) 이상이 되려면 \(b = -1\)일 수밖에 없다. 따라서 \[f ' (x) = 3x^2 - 6x +2\] 이며, 앞에서 찾은 등식 \(f(1) = -1\)을 사용하여 \(f(x)\)를 구하면 \[f(x) = x^3 - 3x^2 +2x -1\] 이다. 이제 \(h ' (8)\)을 구하기 위하여 \(g(x) = 8\)이 되는 점 \(x\)를 구하자. (그러면 역함수의 미분법 공식을 사용할 수 있기 때문이다.)
\(t= e^x\)라고 두고 \(f(t) +t = 8\)이 되는 값 \(t\)를 구하자. \[f(t) + t = t^3 - 3t^2 +3t -1 = 8\] 이라고 하면 \[t^3 - 3t^2 + 3t -9 = 0\] 이므로 \[t (t-3) (t+1) =0\] 이다. 그런데 \(t > 0\)이므로 \(t=3\)이다. 즉 \(e^x = 3\)이며, \(x = \ln 3\)이다.
\(x= \ln 3\)에서 \(g ' (x)\)를 구하자. \[g ' (x) = e^x \left\{ f ' (e^x ) +1 \right\} = e^x \left( 3e^{2x} - 6e^x +3 \right)\] 이므로 \[ g ' ( \ln 3) = 3(3\times 3^2 - 6\times 3+3) = 3\times 12 = 36\] 이다. 따라서 \[h ' (8) = \frac{1}{ g ' (\ln 3)} = \frac{1}{36}\] 이다.
문제 28. 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f ' (x)\)가 \[f ' (x) = -x+e^{1-x^2}\] 이다. 양수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t,\,\,f(t))\)에서의 접선과 곡선 \(y=f(x)\) 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(g(t)\)라 하자. \(g(1) + g ' (1)\)의 값을 구하시오. [4점]
풀이
\(x\ge 0\)일 때 \[f '' (x) = -1-2xe^{1-x^2} < 0\] 이므로, \(0 < t \le 1\)일 때, \(0 < x < t\)인 범위에서 곡선 \(y=f(x)\)은 점 \((t,\,\,f(t))\)에서의 접선보다 아래쪽에 있다. 그러므로 \(t\)가 양수일 때 \(g(t)\)는 다음과 같다. \[\begin{aligned} g(t) &= \int_{0}^{t} \left\{ f ' (t) (x-t) + f(t) - f(x) \right\} dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} f ' (t) t^2 - f ' (t) t^2 + f(t) t - \int_{0}^{t} f(x) dx \\[6pt] &= - \frac{1}{2} f ' (t) t^2 + f(t) t - \int_{0}^{t} f(x) dx . \end{aligned}\] 양변을 \(t\)에 대하여 미분하면 \[\begin{aligned} g ' (t) &= - \frac{1}{2} f ' ' (t) t^2 - f ' (t) t + f ' (t) t + f(t) - f(t) \\[6pt] &= - \frac{1}{2} f ' ' (t) t^2 \\[6pt] &= - \frac{1}{2} t^2 ( -1-2t e^{1-t^2} ) \end{aligned}\] 이므로 \[g ' (1) = - \frac{1}{2} \times (-1-2) = \frac{3}{2}\] 이다. 한편 \[x f ' (x) = -x^2 + xe^{1-x^2}\] 이므로 \[\begin{aligned} g(1) &= f(1) - \int_0^1 f(x) dx \\[6pt] &= \int_0^1 xf '(x) dx \\[6pt] &= \int_0^1 (-x^2 +xe^{1-x^2} ) dx \\[6pt] &= \left[ - \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} e^{1-x^2} \right] _0^1 \\[6pt] &= \frac{1}{2} e - \frac{5}{6} \end{aligned}\] 이다. 그러므로 \[g(1) + g ' (1) = \frac{1}{2} e - \frac{5}{6} + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} e + \frac{2}{3}\] 이다.
문제 29. 등비수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 \[\sum_{n=1}^{\infty} \left( \left\lvert a_n \right\rvert + a_n\right) = \frac{40}{3} ,\quad \sum_{n=1}^{\infty} \left( \left\lvert a_n \right\rvert - a_n \right) = \frac{20}{3}\] 을 만족시킨다. 부등식 \[\lim_{n\,\rightarrow\,\infty} \sum_{k=1}^{2n} \left( (-1)^{ \frac{k(k+1)}{2} } \times a_{m+k} \right) > \frac{1}{700}\] 을 만족시키는 모든 자연수 \(m\)의 값의 합을 구하시오. [4점]
풀이
\(A\)와 \(B\)를 각각 다음과 같이 정의하자. \[\sum_{n-1}^{\infty} a_n = A,\quad \sum_{n-1}^{\infty} \lvert a_n \rvert = B.\] 그러면 \[A+B = \frac{40}{3} ,\quad B-A = \frac{20}{3}\] 이므로 \[A = \frac{10}{3},\quad B = 10\] 이다. \(\left\{ a_n \right\}\)의 첫째항을 \(a,\) 공비를 \(r\)이라고 하자. 그러면 등비급수의 합 공식에 의하여 다음을 얻는다. \[\frac{\lvert a \rvert}{1 - \lvert r \rvert} = 10 ,\quad \frac{a}{1-r} = \frac{10}{3}.\] 여기서 \(\lvert r \rvert < 1\)이므로, 첫 번째 등식이 성립하려면 \(a > 0\)이어야 한다. 또한 두 식의 값이 다르려면 \(r < 0\)이어야 한다. 즉 \[\frac{ a }{1 + r } = 10 ,\quad \frac{a}{1-r} = \frac{10}{3}\] 이다. 두 식을 연립하여 풀면 다음 결과를 얻는다. \[a = 5 ,\quad r = - \frac{1}{2}.\] 이제 문제의 무한급수를 살펴보자. 식 \[(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}\] 의 값은 \[-1 ,\,\, -1 ,\,\, 1 ,\,\, 1,\,\,-1 ,\,\, -1 ,\,\, 1 ,\,\, 1,\,\, \cdots\] 와 같이, \(-1\)이 두 번 나오고, \(1\)이 두 번 나오며 반복된다. 그러므로 무한급수 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{2n} \left( (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \times a_{m+k} \right)\] 를 나열해 보면 \[ \left( -a_{m+1} - a_{m+2} + a_{m+3} + a_{m+4} \right) + \left( -a_{m+5} - a_{m+6} + a_{m+7} + a_{m+8} \right) + \cdots\] 이다. 소괄호로 묶인 항을 기준으로 했을 때, 이 무한급수는 공비가 \(r^4\)이고 첫째항이 \(-ar^m -ar^{m+1} + ar^{m+2} + ar^{m+3}\)인 등비급수이다. 그러므로 이 무한급수의 합은 다음과 같다. \[\frac{ar^m (-1-r+r^2+r^3 )}{ 1-r^4}.\] 이 값이 \(\frac{1}{700}\)을 초과해야 하므로 \[5\times \left( - \frac{1}{2} \right)^m \left( - \frac{2}{5} \right) > \frac{1}{700}\] 이다. \(m\)이 짝수일 때는 이 부등식이 성립할 수 없으며, \(m\)이 홀수일 때 이 부등식은 다음과 같다. \[2^m < 1400\] 이 부등식을 만족시키는 홀수인 자연수 \(m\)은 \[1 ,\,\, 3,\,\, 5 ,\,\, 7,\,\, 9\] 이며, 이 값을 모두 더하면 \(25\)이다.
문제 30. \(a\)와 \(b\)가 상수이고 \(1\le a \le 2\)라고 하자. 함수 \[f(x) = \sin ( ax+b+\sin x)\] 가 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.
- \(f(0) = 0 ,\) \(f(2\pi ) = 2 \pi a + b .\)
- \(f ' (0) = f ' (t)\)인 양수 \(t\)의 최솟값은 \(4 \pi \)이다.
함수 \(f(x)\)가 \(x = \alpha\)에서 극대인 \(\alpha\)의 값 중 열린구간 \((0,\,\, 4\pi )\)에 속하는 모든 값의 집합을 \(A\)라 하자. 집합 \(A\)의 원소의 개수를 \(n,\) 집합 \(A\)의 원소 중 가장 작은 값을 \(\alpha_1\)이라 하면, \[n\alpha _ 1 - ab = \frac{p}{q} \pi\] 이다. 이때 \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]
풀이
\(f(0) = 0\)이므로 \(\sin(b) = 0\)이다. 따라서 \(b\)는 \(\pi\)의 정수배이다.
\(f(2\pi ) = 2\pi a+b\)이므로 \(\sin ( 2 \pi a+b) = 2\pi a+b\)이다. 그런데 \(\sin t = t\)가 성립하는 것은 \(t=0\)일 때뿐이므로, \(2\pi a+b = 0\) 즉 \(b = -2\pi a\)이다. 여기서 \(b\)가 \(\pi\)의 정수배이므로, \(a\)의 값은 \(1,\) \(1.5,\) \(2\) 중 하나이다. 즉 \(a\)와 \(b\)의 값은 다음 세 가지 중 하나이다. \[\begin{cases} a=1 \\ b=-2\pi \end{cases} \quad \text{or} \quad \begin{cases} a=1.5 \\ b=-3\pi \end{cases} \quad \text{or} \quad \begin{cases} a=2 \\ b=-4\pi . \end{cases}\] 한편 \[f ' (x) = \cos (ax-2\pi a + \sin x)(a+\cos x)\] 이다. 만약 \(a=1\)이거나 \(a=2\)인 경우 \(f ' (0) = f ' (2\pi )\)이므로, \(a=1\)과 \(a=2\)는 문제에서 제시한 조건에 부합하지 않는다. \(a=1.5\)인 경우에는 \(f ' (0) = f ' (4\pi )\)이고, \(0 < t < 4\pi\)인 \(t\)에 대해서는 \(f ' (0) \ne f ' (t)\)이므로, \(a=1.5\)는 문제에서 제시한 조건에 부합한다.
\(a=1.5\)일 때 \(b = -3 \pi\)이며, 함수 \(f\)는 다음과 같다. \[\begin{aligned} f(x) &= \sin \left( \frac{3}{2} x - 3 \pi + \sin x \right )\\[6pt] &= - \sin \left( \frac{3}{2} x + \sin x \right ). \end{aligned}\] 이제 \(f(x)\)가 극값을 가지는 점을 구하기 위하여 \(f ' (x) = 0\)인 점 \(x\)를 구하자. \[ f ' (x) = -\cos \left( \frac{3}{2} x + \sin x \right) \left( \frac{3}{2} + \cos x \right) = 0\] 이라고 하자. 두 번째 인수는 \(\frac{3}{2} + \cos x \ne 0\)이므로 \[\frac{3}{2} x + \sin x = \frac{2m-1}{2}\pi ,\,\, m\in \mathbb{Z}\] 인 \(x\)를 구하면 된다. 이 값을 실제로 모두 구할 수는 없지만, 등식의 좌변은 \(x\)를 변수로 하는 순증가함수이므로 일대일함수이고, \(x=0\)일 때 \[\frac{3}{2} x + \sin x = 0\] 이며, \(x = 4\pi\)일 때 \[\frac{3}{2} x + \sin x = 6\pi\] 이다. 그러므로 \[t = \frac{3}{2} x +\sin x\] 라고 두고, \(0 < t < 6 \pi\)의 범위에서 \(-\cos (t) = 0\)이 되는 \(t\)의 값을 구하면 된다. 그와 같은 \(t\)는 다음과 같다. \[\frac{1}{2} \pi ,\,\, \frac{3}{2}\pi ,\,\, \frac{5}{2}\pi ,\,\, \frac{7}{2}\pi ,\,\, \cdots ,\,\, \frac{11}{2}\pi .\] 이 값들은 \(f\)가 극값을 가질 수 있는 후보인 점이다. 이 값들 중에서 “\(x\)가 \(t\)를 지나면서 커질 때 \(f ' (x)\)의 값이 양수에서 음수로 변한다”라는 조건을 만족시키는 값은 다음과 같다. \[\frac{3}{2}\pi ,\,\, \frac{7}{2}\pi ,\,\, \frac{11}{2}\pi .\] 이 값들은 \(t\)의 값이며, 각 \(t\)에 대응되는 \(x\)의 값은 하나이므로, \(0 < \alpha < 4\pi\)의 범위에서 \(f(x)\)가 \(x=\alpha\)에서 극댓값을 갖는 점 \(\alpha\)의 개수는 \(n=3\)이다. 또한, 그러한 값 \(\alpha\) 중에서 가장 작은 값 \(\alpha_1\)은 \[\frac{3}{2} \pi = \frac{3}{2} \alpha_1 + \sin \alpha_1\] 을 만족시므로 \(\alpha_1 = \pi\)이다. \[n\alpha_1 - ab = 3\pi - \frac{3}{2}\times(-3\pi) = 3\pi + \frac{9}{2} \pi = \frac{15}{2}\pi\] 이므로 \(p+q = 17\)이다.