2024년 11월 14일에 실시한 대학수학능력시험 수학 공통과목 선택형 문항(1번-15번) 풀이입니다. 문제의 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 풀이의 저작권은 이 블로그 주인에게 있습니다. (이메일: tomie＠ly4i.com)
풀이에 틀린 부분이 있을 수 있어요ㅜㅜ 읽을 때 조심! 또 조심!
문제 1. 다음 값을 구하시오. [2점] \[ \sqrt[3]{5} \times 25^{\frac{1}{3}}. \]
풀이
\[\begin{aligned} \sqrt[3]{5} \times 25^{\frac{1}{3}} &= 5^{\frac{1}{3}} \times \left( 5^2 \right)^{\frac{1}{3}} \\[6pt] &= 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{2}{3}} \\[6pt] &= 5^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \\[6pt] &= 5^1 = 5. \end{aligned}\]
문제 2. 함수 \(f(x) = x^3 - 8x +7\)에 대하여, \[ \lim_{h\,\rightarrow\,0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} \] 의 값을 구하시오. [2점]
풀이
문제의 함수 \(f\)는 이차함수이므로 모든 점에서 미분 가능하다. \(f ' (x) = 3x^2 - 8\)이므로 \[\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = f ' (2) = 3 \times 2^2 -8 = 4.\]
문제 3. 첫째항과 공비가 모두 양수 \(k\)인 등비수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 \[ \frac{a_4}{a_2} + \frac{a_2}{a_1} = 30 \] 을 만족시킬 때, \(k\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 일반항은 \(a_n = k^n\)이다. 문제에서 주어진 등식을 다시 쓰면 \[\frac{k^4}{k^2} + \frac{k^2}{k} = 30\] 이며 이 방정식을 풀면 다음과 같다. \[\begin{aligned} k^4 + k^3 &= 30k^2 , \\[6pt] k^2 (k^2 + k - 30) &= 0 , \\[6pt] k^2 ( k-5)(k+6) &= 0 ,\\[6pt] k=5 \quad \text{or} \quad k&=-6 . \end{aligned}\] 그런데 \(k\)가 양수이므로 \(k=5\)이다.
문제 4. 함수 \[ f(x)= \begin{cases} 5x+a & (x < -2) \\[5pt] x^2 -a & ( x \ge -2 ) \end{cases} \] 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
점 \(x=-2\)에서 함수 \(f\)의 좌극한과 함숫값이 일치해야 한다. \(x=-2\)에서 \(f\)의 좌극한이 \[\lim_{x\rightarrow -2^-} f(x) = \lim_{x\rightarrow -2^-} (5x+a) = -10 +a\] 이고, \(x=-2\)에서 \(f\)의 함숫값이 \[f(-2) = 4-a\] 이므로 \[-10+a = 4-a\] 이다. 이 방정식을 풀면 \(a=7\)이다.
문제 5. 함수 \(f(x) = (x^2 +1)(3x^2 -x)\)에 대하여, \(f ' (1)\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
\(f\)의 도함수를 구하면 \[f ' (x) = 2x (3x^2 -x ) + (x^2 +1)(6x-1)\] 이므로 \[f ' (1) = 2\times (3-1) + 2\times (6-1) = 14\] 이다.
문제 6. 각 \(\theta\)에 대하여 \[ \cos\left( \frac{\pi}{2} + \theta \right ) = - \frac{1}{5} \] 가 성립할 때, \[\frac{\sin\theta}{1-\cos ^2 \theta} \] 의 값을 구하시오. [3점]
풀이
사인의 함숫값을 구하면 \[\sin\theta = - \cos\left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \frac{1}{5}\] 이므로, \[ \begin{aligned} \cos\theta &= \pm \frac{\sqrt{24}}{5} , \\[6pt] \cos ^2 \theta &= \frac{24}{25} , \\[6pt] 1-\cos^2 \theta &= \frac{1}{25} \end{aligned}\] 이다. 그러므로 구하는 값은 다음과 같다. \[\frac{\sin\theta}{1-\cos^2 \theta} = \frac{1/5}{1/25} = 5.\]
문제 7. 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[ \int_{0}^{x} f(t) dt = 3x^3 + 2x \] 를 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
실수 \(x\)에 대하여 \[F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt = 3x^3 + 2x\] 라고 하자. 그러면 \(F(x)\)는 \(f(x)\)의 역도함수 중 하나이므로 \[f(x) = F ' (x) = 9x^2 +2\] 이다. 따라서 \(f(1) = 9+2 = 11\)이다.
문제 8. 두 실수 \[a = 2 \log \frac{1}{\sqrt{10}} + \log_2 20 , \,\,\, b = \log 2\] 에 대하여 \(a \times b\)의 값을 구하시오? [3점]
풀이
\[\begin{aligned} a\times b &= \left( 2 \log \frac{1}{\sqrt{10}} + \log_2 20 \right) \times \log_2 \\[6pt] &= \log \frac{1}{10} \times \log 2 + \frac{\log 20}{\log 2} \times \log 2 \\[6pt] &= \log 2 + \log 20 \\[6pt] &= \log \frac{20}{2} \\[6pt] &= \log 10 = 1. \end{aligned}\]
문제 9. 함수 \(f(x) = 3x^2 - 16x - 20\)에 대하여 \[ \int_{-2}^{a} f(x)dx = \int_{-2}^{0} f(x)dx \] 일 때, 양수 \(a\)의 값을 구하시오. [4점]
풀이
음이 아닌 실수 \(t\)에 대하여 \[F(t) = \int_{-2}^{t} f(x)dx\] 라고 하자. 그러면 \[\begin{aligned} F(t) &= \int_{-2}^{t} f(x)dx\\[6pt] &= \Bigr[ x^3 - 8x^2 - 20x \Bigr]_{-2}^{t} \\[6pt] &= t^3 - 8t^2 - 20t - (-8-32+40) \\[6pt] &= t^3 - 8t^2 - 20t \end{aligned}\] 이다. 한편 문제에서 주어진 등식을 다시 쓰면 \[F(a) = F(0)\] 이며, 위 식을 다시 쓰면 \[a^3 - 8a^2 - 20a = 0\] 이다. (\(F(0)=0\)이다.) 이 방정식의 좌변을 인수분해하면 \[ a(a-10)(a+2) =0 \] 이므로 \(a = 0\) 또는 \(a = -2\) 또는 \(a = 10\)이다. 그런데 \(a\)가 양수이므로, \(a = 10\)이다.
문제 10. 닫힌구간 \( \left[ 0 ,\,\, 2\pi \right] \)에서 정의된 함수 \(f(x) = a \cos bx +3 \)이 \(x = \pi / 3\)에서 최댓값 \(13\)을 갖도록 하는 두 자연수 \(a,\) \(b\)의 순서쌍 \((a,\,\,b)\)에 대하여 \(a+b\)의 최솟값을 구하시오. [4점]
풀이
\(b\)가 자연수이므로 함수 \(f\)의 주기는 \(2\pi\)보다 짧다. 그러므로 \([0,\,\,2\pi]\)에서 \(f(x)\)가 가지는 값의 범위는 \[3 - \lvert a \rvert \le f(x) \le 3+ \lvert a\rvert \] 인 모든 값이다. 그런데 \(f\)의 최댓값이 \(13\)이므로 \(3+\lvert a \rvert = 10\)이어야 하고, \(a\)가 자연수이므로 \(a=10\)이다.
이제 \(f(x)\)는 다음과 같이 쓸 수 있다. \[f(x) = 10 \cos bx + 3.\] \(x = \frac{\pi}{3}\)일 때 \(f(x)\)의 값이 최대가 되어야 하므로, \(b \times \frac{\pi}{3}\)의 값이 \(2\pi\)의 정수배가 되어야 한다. (왜냐하면 \(\theta\)가 \(2\pi\)의 배수일 때 \(\cos \theta\)가 최댓값을 갖기 때문이다.) 즉 \[\frac{\pi}{3} b = 2\pi k , \quad (k \in \mathbb{Z} )\] 이다. 그런데 \(b\)가 자연수이므로 \(k\)는 양수이고 \[b = 6k \quad (k\in\mathbb{N} )\] 이다. 이 값을 만족시키는 자연수 \(b\) 중 가장 작은 값은 \(b = 6\)이다.
그러므로 구하는 값은 \(a+b = 10+6 = 16\)이다.
문제 11. 시각 \(t=0\)일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 위치 \(x\)가 \[x = t^3 - \frac{3}{2} t^2 - 6t \quad ( t \ge 0 )\] 이다. 출발한 후 점 \(\mathrm{P}\)의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 가속도를 구하시오. [4점]
풀이
시각 \(t\)에서 물체의 속도를 \(v,\) 가속도를 \(a\)라고 하자. \[\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 3t - 6 ,\\[6pt] a &= \frac{dv}{dt} = 6t - 3 \end{aligned}\] 이다. 물체의 위치 함수가 미분 가능한 함수일 때, 운동 방향이 바뀌는 순간 속도는 \(0\)이다. 그러므로 \(v = 0\)인 시각을 구하자. \[\begin{aligned} v &= 0 , \\[6pt] 3(t^2 -t-2 ) &= 0, \\[6pt] 3(t-2)(t+1) &= 0 \end{aligned}\] 이므로 \(t=2\) 또는 \(t=-1\)이다. 그런데 \(t\)는 \(0\) 이상이므로, \(t=2\)이다.
\( 0 \le t < 2\)일 때 \(v < 0\)이고 \(t > 2\)일 때 \(v > 0\)이므로, \(t=2\)는 물체의 운동 방향이 바뀌는 시각이 맞다.
\(t=2\)일 때 물체의 가속도를 구하면 \[a = 6\times 2 - 3 = 9\] 이다.
문제 12. \(a_1 = 2\)인 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)과 \(b_1 = 2\)인 등차수열 \(\left\{ b_n \right\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_{k+1}} = \frac{1}{2} n^2\] 을 만족시킬 때, \[\sum_{k=1}^{5} a_k\] 의 값을 구하시오. [4점]
풀이
수열 \(\left\{ b_n \right\}\)의 공차를 \(d\)라고 하자. 그러면 \[b_n = 2 + (n-1)d \] 이므로 \[S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2+kd} = \frac{1}{2} n^2\] 이다. 그런데 \[S_n - S_{n-1} = \frac{1}{2} n^2 - \frac{1}{2} (n-1)^2 = n- \frac{1}{2}\] 이므로 \[\frac{a_n}{2+nd} = n - \frac{1}{2}\] 이다. 여기에 \(n=1,\) \(a_1 = 2\)를 대입하면 \[\frac{2}{2+d} = \frac{1}{2}\] 이므로 \(d=2\)이다. 그러므로 \[\frac{a_n}{2+2n} = n-\frac{1}{2}\] 이고, \[a_n = 2 \left( n-\frac{1}{2} \right) (1+n) = 2n^2 +n+1\] 이다. 그러므로 \[\sum_{k=1}^{5} a_k = \sum_{k=1}^{5} \left( 2k^2 + k +1 \right) = 120\] 이다.
문제 13. 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \[f(1) = f(2) = 0 ,\,\,\, f ' (0) = - 7\] 을 만족시킨다. 원점 \(\mathrm{O}\)와 점 \(\mathrm{P} (3,\,\, f(3))\)에 대하여 선분 \(\mathrm{OP}\)가 곡선 \( y=f(x) \)와 만나는 점 중 \(\mathrm{P}\)가 아닌 점을 \(\mathrm{Q}\)라 하자.
곡선 \(y=f(x)\)와 \(y\)축 및 선분 \(\mathrm{OQ}\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A,\) 곡선 \(y=f(x)\)와 선분 \(\mathrm{PQ}\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\)라 할 때, \(B-A\)의 값을 구하시오. [4점]
풀이
문제의 조건에서 \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 \(1\)이고 \(f(1)=f(2)=0\)이므로 \[f(x) = (x-1)(x-2)(x-a)\] 라고 두자. 그러면 \[f ' (x) = (x-2)(x-a) + (x-1)(x-a) + (x-1)(x-2)\] 이다. 그런데 \(f ' (0) = -7\)이므로 \[f ' (0) = 2a+a+2 = -7\] 이다. 이 식을 \(a\)에 대하여 풀면 \(a = -3\)이다. 즉 함수 \(f(x)\)는 다음과 같다. \[f(x) = (x-1)(x-2)(x+3).\] 이때 \(f(3) = 2\times 1\times 6 = 12\)이므로, 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표는 \((3,\,\,12)\)이며, 직선 \(\mathrm{OP}\)의 방정식은 \[y = 4x\] 이다. 그러므로 구하는 넓이의 차는 다음과 같다. \[B-A = \int_{0}^{3} \left( 4x - f(x) \right) dx = \left[ - \frac{1}{4} x^4 + \frac{11}{2} x^2 - 6x \right]_{0}^{3} = \frac{45}{4} .\]
문제 14. 그림과 같이 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 선분 \(\mathrm{AB}\) 위에 \(\overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{DB}} = 3:2\)인 점 \(\mathrm{D}\)를 잡고, 점 \(\mathrm{A}\)를 중심으로 하고 점 \(\mathrm{D}\)를 지나는 원을 \(O,\) 원 \(O\)와 선분 \(\mathrm{AC}\)가 만나는 점을 \(\mathrm{E}\)라 하자.
\(\sin A : \sin C = 8:5\)이고, 삼각형 \(\mathrm{ADE}\)와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이의 비가 \(9:35\)이다. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(7\)일 때, 원 \(O\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{PBC}\)의 넓이의 최댓값을 구하시오. [4점]
풀이
아래 그림과 같이 점 \(\mathrm{A}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{F}\)라고 하고, 직선 \(\mathrm{AF}\)가 원 \(O\)와 만나는 점 중 선분 \(\mathrm{AF}\) 위에 있지 않은 것을 \(\mathrm{P}\)라고 하자. 이때 삼각형 \(\mathrm{PBC}\)의 넓이가 최대가 된다.
선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 \(3k\)라고 하고, 선분 \(\mathrm{DB}\)의 길이를 \(2k\)라고 하자. (단, \(k > 0.\)) 그러면 선분 \(\mathrm{AE}\)의 길이도 \(3k\)이고, 선분 \(\mathrm{PA}\)의 길이도 \(3k\)이다.
삼각형 \(\mathrm{ADE}\)와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이의 비가 \(9:35\)이므로, 선분 \(\mathrm{EC}\)의 길이는 \(4k\)이다.
\(\sin A : \sin C = 8:5\)이므로 선분 \(\mathrm{BC}\)와 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이의 비는 \(8:5\)이다. 그러므로 선분 \(\mathrm{BC}\)의 길이는 \(8k\)이다.
이제 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 세 변의 길이의 비를 알고 있으므로, 코사인 법칙을 사용하여 \(\cos B\)의 값을 구할 수 있다. \[\cos B = \frac{-b^2 +a^2 +c^2}{2ac} = \frac{-49 k^2 + 64 k^2 + 25k^2}{2\times 40k^2} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}\] 이므로 \[\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] 이다. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(7\)이므로, 사인 법칙에 의하여 \[14 = \frac{b}{\sin B} = \frac{7k}{\sqrt{3} / 2}\] 이다. 이 식을 \(k\)에 대하여 풀면 \(k = \sqrt{3}\)이다.
선분 \(\mathrm{AF}\)의 길이가 \[5k \sin B = 5\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2}\] 이므로 삼각형 \(\mathrm{PBC}\)의 넓이는 다음과 같다. \[\begin{aligned} \frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}} \times \overline{\mathrm{PF}} &= \frac{1}{2} \times 8k \times \left( \frac{15}{2} + 3k \right) \\[5pt] &= \frac{1}{2} \times 8\sqrt{3} \times \left( \frac{15}{2} + 3\sqrt{3} \right) \\[5pt] &= 30\sqrt{3} + 36. \end{aligned}\]
문제 15. \(a\)가 \(a\ne 3\sqrt{5}\)인 상수라고 하자. 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \[g(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 + 15x + 7 & (x\le 0) \\[5pt] f(x) & ( x > 0 ) \end{cases}\] 이 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.
- 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분 가능하다.
- \(x\)에 대한 방정식 \(g ' (x) \times g ' (x-4) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수는 \(4\)이다.
이때, \(g (-2) + g(2)\)의 값을 구하시오. [4점]
풀이
함수 \(g(x)\)가 실수 전체 집합에서 미분 가능하려면 \(g(0) = f(0)\)이어야 한다. 그러므로 \[f(0) = g(0) = 7\] 이다. 또한 \(g(x)\)는 구간에 따라 다항식으로 정의되는 함수이므로 \(g'(x)\)이 불연속인 점은 모두 단순불연속이다. (즉 \(g'(x)\)가 불연속인 점에서 \(g'(x)\)는 항상 좌극한과 우극한을 가진다.) 그런데 \(g'(x)\)는 구간에 따라 다항식으로 정의되는 함수이므로, \(g'(x)\)는 연속이다. 즉 \(f ' (0) = g ' (0)\)이어야 한다. \(x \le 0\)일 때 \[g ' (x) = 3x^2 + 2ax+15\] 이므로 \[f' (0) = g' (0) = 15\] 이다. 이제 \(f(0) = 7\) 그리고 \(f ' (0) = 15\)라는 사실을 바탕으로, 함수 \(f(x)\)의 식을 다음과 같이 쓸 수 있다. \[f(x) = bx^2 + 15x +7 \quad (b < 0 ) .\] 함수 \(g ' (x)\)는 다음과 같다. \[g' (x) = \begin{cases} 3x^2+2ax +15 &( x \le 0) \\[6pt] 2bx + 15 & (x > 0 ) \end{cases}\] 함수 \(y=g'(x)\)의 그래프는 아래 그림의 파란색 그래프와 같다. (그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 위치는 아직 모르는 상태이다.)
특히 \(a\ne 3\sqrt{5}\)이므로 \(3x^2 + 2ax+15\)의 판별식의 값이 \(0\)이 아니며, \(y = g'(x)\)의 그래프의 포물선 부분이 \(x\)축과 접하지 않고, \(y = g'(x)\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는 점의 개수는 \(1\) 또는 \(3\)이 된다. 그런데 문제의 두 번째 조건에 의하여 \(g ' (x) = 0\)의 실근의 개수가 \(2\) 이상이므로, \(y = g'(x)\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는 점의 개수는 반드시 \(3\)이 되어야 한다.
방정식 \(g '(x) \times g' (x-4)=0\)의 근은 두 방정식 \(g'(x)=0\)과 \(g'(x-4)=0\)의 근을 모두 모은 것이다. 그런데 \(g '(x)=0\)의 근의 개수가 \(3\)이므로 \(g'(x-4)=0\)의 근의 개수 또한 \(3\)이다. 따라서 두 방정식의 근 중에서 두 쌍이 각각 서로 겹쳐야 한다. 그리고 이와 같은 경우는 위 그림에서처럼 \(g'(x) = 0\)의 근 중 큰 것 \(2\)개가 \(g'(x-4)=0\)의 근 중 작은 것 \(2\)개와 겹치는 경우 뿐이다.
그런데 \(y=g'(x-4)\)의 그래프는 \(y=g'(x)\)의 그래프를 오른쪽으로(\(x\)축의 양의 방향으로) \(4\)만큼 평행이동한 것이므로, \(y = g'(x)\)의 그래프에서 포물선 부분이 \(x\)축과 만나는 두 점 사이의 간격은 \(4\)가 되어야 한다. 즉 이차방정식 \[3x^2 + 2ax +15 =0 \] 의 두 근의 차는 \(4\)이다. 이 사실을 근과 계수의 관계와 결합하면 \(a=\pm 9\)를 얻는다. 그런데 두 근이 모두 음수이므로, \(a=9\)이다. 즉 \(x\le 0\)일 때 \[g'(x) = 3x^2 + 18x +15\] 이다. 한편 \(x\le 0\)인 범위에서 이차방정식 \(g ' (x) = 0\)을 풀면 두 근은 \(-5,\) \(-1\)이므로, \(y = g'(x)\)의 그래프에서 반직선 부분의 \(x\)절편은 \(3\)이다. 그러므로 \(b = -\frac{5}{2}\)이다.
지금까지 구한 값 \(a = 9\)와 \(b = -\frac{5}{2}\)를 사용하면 \(g(x)\)의 식은 다음과 같다. \[g(x) = \begin{cases} x^3 + 9x^2 + 15x +7 & ( x\le 0) \\[6pt] -\frac{5}{2} x^2 + 15x + 7 & ( x > 0 ) \end{cases}\] 그러므로 \[g(-2) + g(2) = 5+27 = 32\] 이다.