2023 수능 수학 선택과목 미적분(23-30번) 풀이

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\(f(x) = \ln x,\) \(g(x) = \sqrt{x}\)라고 하자. 그러면 \[f ' (x) = \frac{1}{x} ,\quad g ' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \quad (x > 0)\] 이므로 \[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x+4} -2} &= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln (x+1)}{x} \times \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x+4} -2} \\[6pt] &= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln (1+x) - \ln 1}{x} \times \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{4+x} - \sqrt{4}} \\[6pt] &= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(1+h) -f(h)}{h} \times \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h}{g(4+h)-g(4)} \\[6pt] &= f ' (1) \times \frac{1}{g ' (4)} \\[6pt] &= 1 \times 4 = 4. \end{aligned}\]

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\(f(x) = \sqrt{x}\)라고 하자. 그러면 \[\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{3k}{n}} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{3}{n} k} \times \frac{1}{3} \\[6pt] &= \int_{1}^{4} f(x) dx \times \frac{1}{3} \\[6pt] &= \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} \times \frac{1}{3} \\[6pt] &= \left( \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \right) \times \frac{1}{3} \\[6pt] &= \frac{14}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{14}{9}. \end{aligned}\]

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문제에서 극한을 취한 수열은 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[\frac{a_n + 1}{3^n + 2^{2n-1}} = \frac{a_n + 1}{3^n + 4^n \times \frac{1}{2}}\tag{1}\] \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 이 수열이 양수에 수렴해야 하므로 \(\left\{a_n\right\}\)의 공비는 \(4\)이다. 왜냐하면, 만약 \(\left\{a_n\right\}\)의 공비의 절댓값이 \(4\)보다 작다면 (1)의 수열은 \(0\)에 수렴하고, 만약 \(\left\{a_n\right\}\)의 공비의 절댓값이 \(4\)보다 크거나 공비가 \(-4\)라면 (1)의 수열은 발산하기 때문이다.

수열 \(\left\{a_n\right\}\)의 일반항을 \(a_n = a\times 4^{n-1}\)이라고 두자. 그러면 \[\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n + 1}{3^n + 2^{2n-1}} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n + 1}{3^n + 4^n \times \frac{1}{2}} \\[6pt] &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{4} a \times 4^n +1}{3^n + 4^n \times \frac{1}{2}} \\[6pt] &= \frac{\frac{1}{4} a}{\frac{1}{2}} = \frac{a}{2} \end{aligned}\] 이고, 이 값이 \(3\)이어야 하므로 \(a=6\)이다. 그러므로 \[a_2 = a\times 4^{2-1} = 6\times 4 = 24\] 이다.

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\(x\)축에 수직인 평면 \(x=t\)로 자른 단면의 넓이를 \(S(t)\)라고 하면 \[S(t) = \left( \sqrt{\sec^2 t + \tan t} \right)^2 = \sec^2 t + \tan t \quad \left( 0 \le t \le \frac{\pi}{3}\right)\] 이다. 그러므로 구하는 부피 \(V\)는 다음과 같다. \[\begin{aligned} V &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} S(t) dt \\[6pt] &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} ( \sec^2 t + \tan t ) dt \\[6pt] &= \left[ \, \tan t - \ln (\cos t ) \, \right] _{0}^{\pi /3} \\[6pt] &= \left( \tan \frac{\pi}{3} - \ln \left( \cos \frac{\pi}{3} \right) \right) - ( \tan 0 - \ln (\cos 0)) \\[6pt] &= \left( \sqrt{3} - \ln \frac{1}{2} \right) - (0-0) \\[6pt] &= \sqrt{3} + \ln 2. \end{aligned}\]

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아래 그림과 같이 반직선 \(\mathrm{OQ_1}\)이 선분 \(\mathrm{P_1 A_1}\)과 만나는 점을 \(\mathrm{Q_0}\)이라고 하자. 그러면 \(\overline{\mathrm{P_1 Q_1}} = \overline{\mathrm{A_1 Q_1}}\)이므로 \(\overline{\mathrm{OQ_0}}\)과 \(\overline{\mathrm{P_1 A_1}}\)은 수직으로 만난다.

이제 우리의 목표는 \(\overline{\mathrm{OQ_1}}\)의 길이를 구하는 것이다. 점 \(\mathrm{P}_1\)의 좌표를 \((a,\,\,b)\)라고 하면 \[a : b = 3:4 ,\quad a^2 + b^2 = 1 ,\quad a > 0 ,\quad b > 0\] 이므로, 이 식을 풀면 \[a = \frac{3}{5} ,\,\, b= \frac{4}{5}\] 가 된다. 그러므로 \[\overline{\mathrm{P_1 A_1}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{C_1 A_1}}^2 + \overline{\mathrm{D_1 O}}^2 } = \sqrt{ \left( \frac{2}{5}\right) ^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 } = \frac{2}{\sqrt{5}}\] 이다. 한편 삼각형 \(\mathrm{P_1 O A_1}\)의 넓이를 구하면 \[\triangle \mathrm{P_1 O A_1} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OA_1}} \times \overline{\mathrm{P_1 C_1}} = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}\] 이고, \[\triangle \mathrm{P_1 O A_1} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{P_1 A_1}} \times \overline{\mathrm{OQ_0}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \overline{\mathrm{OQ_0}}\] 이다. 두 등식을 연립하여 풀면 \[\overline{\mathrm{OQ_0}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\] 를 얻는다. 그런데 \[\overline{\mathrm{Q_1 Q_0}} = \overline{\mathrm{Q_0 A_1}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{P_1 A_1}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\] 이므로 \[\overline{\mathrm{OQ_1}} = \overline{\mathrm{OQ_0}} - \overline{\mathrm{Q_1 Q_0}} = \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\] 이다. 즉 부채꼴 \(\mathrm{OA_1 B_1}\)과 부채꼴 \(\mathrm{OA_2 B_2}\)의 닮음비는 \[\overline{\mathrm{OA_1}} : \overline{\mathrm{OA_2}} = \overline{\mathrm{OA_1}} : \overline{\mathrm{OQ_1}} = 1 : \frac{1}{\sqrt{5}}\] 이며, 이 비는 삼각형 \(\mathrm{P_1 Q_1 A_1}\)과 삼각형 \(\mathrm{P_2 Q_2 A_2}\)의 닮음비이다. 따라서 두 삼각형 \(\mathrm{P_1 Q_1 A_1}\)과 \(\mathrm{P_2 Q_2 A_2}\)의 넓이비는 \[1^2 : \left( \frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1:\frac{1}{5}\] 이다. 한편 삼각형 \(\mathrm{P_1 Q_1 A_1}\)의 넓이가 \[\triangle \mathrm{P_1 Q_1 A_1} = \frac{1}{4} \times (\overline{\mathrm{P_1 A_1}})^2 = \frac{1}{5}\] 이므로, 문제의 극한은 다음과 같이 계산할 수 있다. \[\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}S_n &= \triangle \mathrm{P_1 Q_1 A_1} \times \left\{ 1 + \frac{1}{5} + \left( \frac{1}{5} \right)^2 + \left( \frac{1}{5} \right)^3 + \cdots \right\} \\[6pt] &= \frac{1}{5} \times \frac{1}{1- \frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{1}{4}. \end{aligned}\]

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문제의 그림에서 크기가 \(\theta\)인 각, 크기가 \(\frac{\pi}{2} - \theta\)인 각(별표로 표시했다), 직각을 찾으면 아래 그림과 같다.

우선 삼각형 \(\mathrm{POB}\)의 넓이를 구하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \triangle\mathrm{POB} &= \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OP}} \cdot \overline{\mathrm{OB}} \sin 2\theta \\[6pt] &= \frac{1}{2} \sin 2\theta \\[6pt] &= \sin \theta \,\cos\theta . \end{aligned}\] 다음으로 사각형 \(\mathrm{CQRS}\)의 넓이를 구하자. \[\square\mathrm{CQRS} = \square\mathrm{QUSC} + \triangle\mathrm{QRU}\] 이므로 사각형 \(\mathrm{QUSC}\)의 넓이와 삼각형 \(\mathrm{QRU}\)의 넓이를 각각 구하면 된다.

삼각형 \(\mathrm{QOC}\)와 삼각형 \(\mathrm{UOS}\)가 닮음이고 \[\overline{\mathrm{SO}} = \overline{\mathrm{AO}} \tan \theta = \tan\theta\] 이므로 그 닮음비는 \(1 : \tan\theta\)이며, 넓이비는 \(1:\tan^2 \theta\)이다. 따라서 \[\triangle\mathrm{UOS} = \triangle\mathrm{QOC} \times \tan^2 \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta \,\tan^2 \theta\] 이며, \[\begin{aligned} \square\mathrm{QUSC} &= \triangle\mathrm{QOC} - \triangle\mathrm{UOS} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \sin 2\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \,\tan^2 \theta \\[6pt] &= \frac{1}{2}\sin 2\theta (1-\tan^2 \theta ) \end{aligned}\] 이다.

한편 \(\overline{\mathrm{QU}} = \overline{\mathrm{CS}}\)이므로 \[\begin{aligned} \triangle\mathrm{QRU} &= \frac{1}{2} \overline{\mathrm{QR}} \cdot \overline{\mathrm{RU}} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \overline{\mathrm{QU}} \cos\theta \cdot \overline{\mathrm{QU}} \sin\theta \\[6pt] &= \frac{1}{2} \overline{\mathrm{CS}} \cos\theta \cdot \overline{\mathrm{CS}} \sin\theta \\[6pt] &= \frac{1}{2} (1-\tan \theta )^2 \sin \theta \, \cos \theta \end{aligned}\] 이다.

그러므로 사각형 \(\mathrm{CQRS}\)의 넓이는 다음과 같다. \[\begin{aligned} \square\mathrm{CQRS} &= \square\mathrm{QUSC} + \triangle\mathrm{QRU} \\[6pt] &= \frac{1}{2}\sin 2\theta (1-\tan^2 \theta ) + \frac{1}{2} (1-\tan \theta )^2 \sin \theta \, \cos \theta \\[6pt] &= \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \theta \, \cos\theta (1-\tan \theta )(1+\tan\theta ) + \frac{1}{2} (1-\tan \theta )^2 \sin \theta \, \cos \theta \\[6pt] &= \frac{1}{2} \sin\theta \,\cos\theta (1-\tan\theta ) (3+ \tan\theta ). \end{aligned}\] \[\begin{aligned} 3 f(\theta ) - 2 g(\theta ) &= \triangle\mathrm{POB} - 3\square\mathrm{CQRS} \\[6pt] &= 3\sin\theta \,\cos\theta - \sin\theta \,\cos\theta (1-\tan\theta )(3 + \tan\theta ) \\[6pt] &= \sin\theta \,\cos\theta (3 - 3 + 2 \tan\theta + \tan^2 \theta ) \\[6pt] &= \sin\theta \,\cos\theta \,\tan\theta (2+\tan\theta ) \\[6pt] &= \sin^2 \theta (2+\tan \theta ) \end{aligned}\] 이므로 문제의 극한을 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \lim_{\theta\rightarrow 0+} \frac{3f(\theta ) - 2g(\theta )}{\theta ^2} &= \lim_{\theta\rightarrow 0+} \frac{\sin^2 \theta (2+\tan \theta )}{\theta ^2}\\[6pt] &= \lim_{\theta\rightarrow 0+} \left( \frac{\sin \theta}{\theta } \right)^2 \times \lim_{\theta\rightarrow 0+} (2+\tan \theta ) \\[6pt] &= 1^2 \times (2+0) = 2. \end{aligned}\]

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등식 (1)의 극한에서 \(t=e^x\)라고 두면 \[\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)+6}{e^x} = \lim_{t\rightarrow 0+} \frac{at^2 +bt +c +6}{t}\] 이다. 이 극한의 값이 \(1\)이 되려면 \(c+6=0\) 즉 \(c=-6\)이어야 하고, \(b=1\)이어야 한다. 따라서 \[f(x) = ae^{2x} + e^x -6\] 이다. 등식 (2)를 사용하면 \[f(\ln 2) = ae^{2\ln 2} + e^{\ln 2} -6 = 4a+2-6 =0\] 이므로 \(a=1\)이다. 따라서 \[f(x) = e^{2x} +e^x -6\] 이다. 이 함수의 도함수를 구하면 \[f ' (x) = 2e^{2x} + e^x = e^x (2e^x +1 ) > 0\] 이므로, \(f\)는 실수 전체 구간에서 증가하는 함수이며 일대일 함수이다. 그러므로 \(f\)의 역함수가 존재하며, 역함수 \(g\) 또한 증가함수이다.

한편 \[\begin{aligned} f(x)=0 &\quad\Leftrightarrow\quad (e^x )^2 +e^x -6 =0 \\[6pt] &\quad\Leftrightarrow\quad (e^x -2)(e^x +3) =0 \\[6pt] &\quad\Leftrightarrow\quad e^x = 2 \\[6pt] &\quad\Leftrightarrow\quad x = \ln 2 \end{aligned}\] 이고 \[\begin{aligned} f(x)=14 &\quad\Leftrightarrow\quad (e^x )^2 + e^x -20 = 0 \\[6pt] &\quad\Leftrightarrow\quad (e^x +5)(e^x -4) = 0\\[6pt] &\quad\Leftrightarrow\quad e^x = 4\\[6pt] &\quad\Leftrightarrow\quad x = \ln 4 \end{aligned}\] 이다. 그러므로 \(y=f(x)\)의 그래프는 두 점 \((\ln 2 ,\,\,0)\)과 \((\ln 4,\,\, 14)\)를 지나며, 그 역함수 \(y=g(x)\)의 그래프는 두 점 \((0,\,\,\ln 2)\)와 \((14,\,\,\ln 4)\)를 지난다. 아래 그림을 살펴보자.

이 그림을 참고하여 문제의 적분을 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \int_{0}^{14} g(x) dx &= 14 \ln 4 - \int_{\ln 2}^{\ln 4} f(y) dy \\[6pt] &= 14\ln 4 - \left[ \frac{1}{2} e^{2y} + e^y - 6y \right] _{\ln 2}^{\ln 4} \\[6pt] &= 28 \ln 2 - ( 8 - 6 \ln 2 ) \\[6pt] &= -8 + 34 \ln 2. \end{aligned}\] 여기서 \(p=-8,\) \(q=34\)이므로 \[p+q = -8+34 = 26\] 이다.

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우선 함수 \(y=g(x)\)의 그래프를 그려 보자. 함수 \(y=\sin \pi x\)의 그래프를 그리고, 지수함수 \(y=e^x\)가 증가함수라는 사실을 사용하면 \(y=e^{\sin \pi x}\)의 그래프는 어렵지 않게 그릴 수 있다. 이 함수의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(-1\)만큼 평행이동하면 \(y=g(x)\)의 그래프가 된다. 아래 그림을 보자.

함수 \(y=g(x)\)의 그래프를 살펴보면 \(x\)의 값이 정수일 때 함숫값이 \(0\)이다. 즉 \(g(x)=0\)일 필요충분조건은 \(x\)가 정수인 것이다. 특히 \(x\)가 홀수일 때 함수 \(g\)는 그곳에서 감소인 상태이며, \(x\)가 짝수일 때 함수 \(g\)는 그곳에서 증가인 상태이다.

문제의 조건에서 함수 \(h(x) = g(f(x))\)가 \(x=0\)에서 극댓값 \(0\)을 가진다고 하였다. 그런데 \(g(f(x))=0\)인 것은 \(f(x)\)의 값이 정수일 때뿐이다. 함수 \(g\)는 정수인 점에서 감소인 상태이거나 증가인 상태이므로, \(g(f(x))\)가 함숫값 \(0\)을 가지면서 그 값이 극댓값이 되려면 함수 \(f(x)\)가 \(x=0\)일 때 \(f(x)\)의 값이 정수여야 하며, 그 값이 극댓값 또는 극솟값이 되어야 한다. 즉 \(f ' (0)=0\)이다. \(f(0)\)이 \(f\)의 극댓값이라면 \(f(0)\)의 값이 짝수여야 하며, \(f(0)\)이 \(f\)의 극솟값이라면 \(f(0)\)의 값이 홀수여야 한다.

한편 \(f ' (3) = 0\)이고 \(f(x)\)가 최고차항이 양수인 삼차함수이므로, \(f(x)\)는 \(x=0\)에서 극댓값을 갖고 \(x=3\)에서 극솟값을 가진다. 그러므로 \(y=f(x)\)의 그래프는 다음과 같은 형태가 된다.

이제 \(f(0)\)의 값을 구하자. 우선 \(f(0)\)이 짝수라는 사실은 앞에서 밝혔다. 한편 위 그래프를 보면 구간 \([0,\,\,3]\)에서 \(f\)는 일대일 함수이며, 그 값의 범위는 \[\frac{1}{2} \le f(x) \le f(0)\] 이다. 조건 [2]를 사용하여 \(f(0)\)의 값을 구하자. 열린구간 \((0,\,\,3)\)에서 방정식 \(h(x)=1\)의 실근의 개수가 \(7\)이어야 한다. 함수 \(y=g(x)\)의 그래프를 다시 살펴보자.

위 그래프를 살펴보면 \(f(0)\)의 값은 \(7\) 또는 \(8\)이 되어야 함을 알 수 있다. 그런데 \(f(0)\)의 값은 짝수가 되어야 하므로, \(f(0)=8\)이다. 이제 함수 \(f\)에 관하여 다음 사실을 사용할 수 있다. \[\begin{aligned} f(0) &= 8, \\[6pt] f(3) &= \frac{1}{2} ,\\[6pt] f ' (0) &= 0 ,\\[6pt] f ' (3) &= 0 . \end{aligned}\] \(f\)의 도함수가 이차함수이므로, \(f ' (0) = 0\)과 \(f ' (3)=0\)이라는 사실을 바탕으로 \(f\)의 도함수를 다음과 같이 두자. \[f ' (x) = ax(x-3) = ax^2 -3ax .\] 이 함수의 역도함수를 구하면 \[f(x) = \frac{1}{3} ax^3 - \frac{3}{2} ax^2 +k\] 이다. 여기서 \(k\)는 상수이다. \(f(0)=8\)을 사용하면 \(k=8\)임을 알 수 있다. 즉 \[f(x) = \frac{1}{3} ax^3 - \frac{3}{2} ax^2 + 8\] 이다. 또한 \(f(3) = \frac{1}{2}\)이라는 사실을 사용하면 \[f(3) = 9a - \frac{27}{2} a+8 = \frac{1}{2}\] 이므로 \(a= \frac{5}{3}\)이다. 따라서 \[f(x) = \frac{5}{9} x^3 - \frac{5}{2} x^2 +8\] 이며 \[f(2) = \frac{5}{9} \times 8 - \frac{5}{2} \times 4 +8 = \frac{22}{9}\] 이다. 즉 \(p = 9,\) \(q=22\)이므로 \[p+q = 9+22 = 31\] 이다.