2023 수능 수학 공통과목 단답형 문항(16-22번) 풀이

by Ariel Daley

2022년 11월 17일에 실시한 대학수학능력시험 수학 공통과목 단답형 문항(16번-22번) 풀이입니다. 문제의 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 풀이의 저작권은 이 블로그 주인에게 있습니다. (이메일: tomie@ly4i.com)

풀이에 틀린 것이 있을 수 있어요ㅜㅜ 읽을 때 조심! 또 조심!

문제 16. 방정식 log2(3x+2)=2+log2(x2) 를 만족시키는 실수 x의 값을 구하시오. [3점]

풀이

문제의 방정식을 변형하면 log2(3x+2)=log222+log2(x2)log2(3x+2)=log2(4(x2)) 이다. 여기서 로그함수는 일대일 함수이므로 위 등식의 성립하기 위한 필요충분조건은 3x+2=4(x2) 가 성립하는 것이다. (단, 3x+2>0, x2>0.) 이 방정식을 풀면 x=10이다.

문제 17. 함수 f(x)에 대하여 f(x)=4x32x이고 f(0)=3일 때, f(2)의 값을 구하시오. [3점]

풀이

f(x)의 역도함수를 구하면 f(x)=x4x2+k 이다. 단, 여기서 k는 상수이다. 이 식에 x=0을 대입하면 f(0)=k=3 이다. 그러므로 f(x)=x4x2+3 이고 f(2)=2422+3=164+3=15 이다.

문제 18. 두 수열 {an}, {bn}에 대하여 k=15(3ak+5)=55,k=15(ak+bk)=32 일 때, k=15bk 의 값을 구하시오. [3점]

풀이

A=k=15ak,B=k=15bk 라고 하자. 그러면 k=15(3ak+5)=3k=15ak+k=155=3A+25=55 이므로 A=10이다. 또한 k=15(ak+bk)=A+B=32 이므로 B=22이다. 그러므로 k=15bk=22 이다.

문제 19. 방정식 2x36x2+k=0의 서로 다른 양의 실근의 개수가 2가 되도록 하는 정수 k의 개수를 구하시오. [3점]

풀이

f(x)=2x36x2+k라고 하고 f의 도함수를 구하면 다음과 같다. f(x)=6x212x=6x(x2) 특히 x<0일 때와 x>2일 때 f(x)>0이고, 0<x<2일 때 f(x)<0이므로, fx=0에서 극댓값을 갖고 x=2에서 극솟값을 가진다. 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음과 같다. (k의 값에 따라 그래프가 y축 방향으로 평행이동한다.)

2023 수능 수학 홀수형 19번 그래프

그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 k이다. 그러므로 k의 값이 0보다 x>0의 범위에서 그래프가 x축과 두 점에서 만날 수 있다. 또한 x=2일 때 함숫값이 0보다 작아야 x>0의 범위에서 그래프가 x축과 두 점에서 만날 수 있다. 그러므로 f(2)=1624+k<0k<8이어야 한다. 따라서 문제의 조건을 만족시키는 k의 범위는 0<k<8이며, 이 범위에 있는 정수의 개수는 7이다.

문제 20. 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도 v(t)와 가속도 a(t)가 다음 조건을 만족시킨다. (단, t0.) 시각 t=0에서 t=3까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오. [4점]

(가) 0t2일 때, v(t)=2t38t이다.
(나) t2일 때, a(t)=6t+4이다.

풀이

0t2일 때 v(t)=2t38t=2t(t2)(t+2) 이므로 0t2의 범위에서 v(t)0이고 v(2)=0이다.

한편 t2일 때 v(t)a(t)의 역도함수이므로 v(t)=3t2+4t+k 이다. (단, 여기서 k는 상수이다.) 이 식은 t=2일 때에도 유효하므로 v(2)=12+8+k=0k=20이다. 따라서 t2일 때 v(t)=3t2+4t20=(3t+10)(t2) 이며, t2일 때 v(t)0이다.

그러므로 t=0에서 t=3까지 점 P가 움직인 거리 s는 다음과 같다. s=03|v(t)|dt=02v(t)dt+23v(t)dt=02(2t38t)dt+23(3t2+4t20)dt=[12t44t2]02+[t3+2t220t]23=(816)+(27+186088+40)=17.

문제 21. 자연수 n에 대하여 함수 f(x)를 다음과 같이 정의하자.

x<0일 때 f(x)=|3x+2n|, x0일 때 f(x)=|log2(x+4)n|. 실수 t에 대하여 x에 대한 방정식 f(x)=t의 서로 다른 실근의 개수를 g(t)라 할 때, 함수 g(t)의 최댓값이 4가 되도록 하는 모든 자연수 n의 값의 합을 구하시오. [4점]

풀이

이 문제는 그래프를 그리면 쉽게 풀린다. x<0일 때 f(x)=|3x+2n|=|9×3xn| 이고, x0일 때 f(x)=|log2(x+4)n| 이므로, 그래프를 그리면 다음과 같다.

2023 수능 수학 홀수형 21번 그래프

여기서 9n>0이면 x<0인 범위에서 f(x)=0일 때가 존재하고, 2n<0이면 x>0인 범위에서 f(x)=0일 때가 존재한다. 이때 t를 충분히 작은 양수로 정하면 x에 대한 방정식 f(x)=t의 서로 다른 실근의 개수가 4가 된다. 또한 f(x)=t의 서로 다른 실근의 개수는 4를 넘을 수 없다.

9n>02n<0을 모두 만족시키는 정수 n3,4,5,6,7,8 이며, 이 값을 모두 더하면 33이다.

문제 22. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 g(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, f(4)의 값을 구하시오. [4점]

  1. 모든 실수 x에 대하여 f(x)=f(1)+(x1)f(g(x))이다.
  2. 함수 g(x)의 최솟값은 52이다.
  3. f(0)=3,f(g(1))=6

풀이

먼저 삼차함수의 그래프의 특징 하나를 살펴보자. f가 삼차함수일 때 y=f(x)의 그래프 위에서 서로 다른 두 점 A, B를 잡은 뒤 직선 AB를 그으면, 미분계수가 직선 AB의 기울기와 같아지는 점이 딱 두 개 존재한다. 아래 그림에서는 x=c1x=c2가 그와 같은 점이다.

2023 수능 수학 홀수형 22번 그래프 1

이제 문제를 풀어 보자. [1]의 조건을 사용하면 x1일 때 f(x)f(1)x1=f(g(x)) 가 성립한다. 여기서 좌변은 f의 그래프 위의 두 점 (1,f(1))(x,f(x))를 지나는 직선의 기울기이며, 우변은 g(x)에서 f의 미분계수이다. 앞에서 밝힌 바와 같이 x1일 때 (1)f(x)f(1)x1=f(c) 인 점 c는 두 개가 존재한다. 아래 그림을 보자.

2023 수능 수학 홀수형 22번 그래프 2

그러한 점 c 중 큰 값을 g(x)의 값으로 정하자. 만약 그러한 점 c 중 작은 값을 정하면 x가 무한히 작아질 때 직선의 기울기가 무한히 작아지므로 g(x)의 값도 무한히 작아지는데, 그러면 조건 [2]에서 g가 최솟값을 갖는다는 사실에 모순이기 때문이다. 더욱이 g(x)는 등식 (1)을 만족시키는 두 개의 값 c 중에서 더 큰 값하고만 일치하든지 또는 더 작은 값하고만 일치한다. 왜냐하면, g(x)가 두 개의 값 c 중 더 큰 값과 일치하는 경우와 더 작은 값과 일차하는 경우가 모두 존재한다면 g가 연속이라는 조건에 모순이기 때문이다.

아래 그림과 같이 점 B가 직선 AB의 접점이 될 때 g의 값이 최소가 된다.

2023 수능 수학 홀수형 22번 그래프 3

이때 직선 AB의 방정식을 y=mx+n이라고 하자. 그러면 y=f(x)(mx+n)의 그래프는 아래 그림과 같다.

2023 수능 수학 홀수형 22번 그래프 4

그러므로 f(x)(mx+n)=(x1)(x52)2 이라고 쓸 수 있고, (2)f(x)=(x1)(x52)2+mx+n 이라고 쓸 수 있다. 여기서 m의 값과 n의 값을 구하자.

조건 [3]에서 f(0)=3이므로 f(0)=(1)×254+n=3(3)n=3+254=134 이다. 또한 f(x)=(x52)2+2(x1)(x52)+m 이므로 f(1)=94+m 이다. 그런데 gf이 모두 연속함수이므로 f(1)=limx1f(x)f(1)x1=limx1f(g(x))=f(g(1)) 이다. [여기서 g(1)1임에 주의하자. 어차피 g의 최솟값은 52라는ㅜㅜ f이 이차함수이므로 일대일 함수가 아니다.] f(x)=2(x52)+2(x52)+2(x1)=2x5+2x5+2x2=6x12=6(x2) 이므로 (2,f(2))y=f(x)의 그래프의 변곡점이다. 삼차함수의 그래프는 변곡점에 대하여 점대칭이므로 f(1)=f(3) 이다. 또한 미분계수가 f(1)과 같은 것은 x=3일 때뿐이다. [f이 이차함수이기 때문이다.] 그러므로 g(1)=3이다. 따라서 조건 [3]에 의하여 f(3)=f(g(1))=6 이며, 이 값을 (2)에 대입하여 n의 값을 구하고 f(x)의 식을 완성하면 f(x)=(x1)(x52)2+34x+134 이다. 따라서 f(4)=3×94+3+134=13 이다.

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