Ariel Daley

고윳값의 중복도와 대각화 앞서 “행렬이 대각화 가능하려면 고유벡터들이 충분히 많아야 한다”는 사실을 다루었다. 그 관점에서, 가장 중요한 이슈는 “중복된 고윳값”을 어떻게 다룰 것이냐”이다. 왜냐하면, 하나의 고윳값이 여러 번(대수적 중복도) 나타나도, 고유벡터 공간(기하적 중복도)이 충분한 차원을 확보하지 못하면 대각화에 실패하기 때문이다. 이 섹션에서는 고윳값 중복도(algebraic multiplicity)와 고유벡터 공간의 차원(기하적 중복도; geometric …

대각화 가능한 행렬의 조건 행렬의 고윳값을 구하는 중요한 이유 중 하나는, 그 행렬을 가능한 한 ‘단순한 형태’로 바꿔서 해석하고 계산하는 데 있다. 특히, 행렬이 대각화(diagonalization) 가능한 경우라면, 복잡한 변환도 대각 행렬로 표현함으로써 연산을 훨씬 쉽게 처리할 수 있다. 이 섹션에서는 “행렬이 대각화된다는 것”이 구체적으로 무엇을 의미하는지, 그리고 어떤 조건에서 가능한지 …

특성다항식의 정의와 계산 고윳값(eigenvalue)을 찾는 과정에서 핵심이 되는 것이 바로 특성다항식(characteristic polynomial)이다. 행렬 \(A\)의 특성다항식이란 방정식 \(\det(A – \lambda I) = 0\)의 좌변을 전개하면 생기는 \(\lambda\)에 관한 다항식을 가리키는데, 이 방정식의 근(roots)이 곧 행렬의 고윳값이 된다. 특성다항식의 성질을 잘 파악하면 고윳값 계산이나 대각화 과정이 한결 체계적으로 이뤄진다. 정의 1. (특성다항식) …

선형변환 관점에서의 의미 벡터공간에서 선형변환을 살펴볼 때, 특정 방향의 벡터가 변환 과정을 통해 오직 “길이(크기)”만 바뀌고 방향은 그대로 유지된다면, 그 벡터를 고유벡터(eigenvector)라고 부르고, 그때의 크기 변경 비율(스칼라배)을 고윳값(eigenvalue)이라 한다. 이 개념은 2차원, 3차원뿐 아니라 고차원 공간에서도 마찬가지로 적용되며, 선형대수학의 전반적인 이론·응용에서 핵심적인 역할을 수행한다. 정의 1. (선형변환의 고유벡터와 고윳값) 선형변환 …

쌍대공간 벡터공간에서 쌍대공간(dual space)이란, 주어진 벡터공간을 스칼라값으로 대응시키는 선형범함수(linear functional)들의 집합을 또 하나의 벡터공간으로 보는 개념이다. 예를 들어, \(V\)가 체 \(\mathbb{F}\) (보통 \(\mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{C}\)) 위의 \(n\)-차원 벡터공간이라고 할 때, 모든 선형범함수 \(\varphi: V \to \mathbb{F}\)로 이루어진 집합 \(V^*\)를 그 쌍대공간이라 부른다. 쌍대공간의 뜻 벡터공간 \(V\)에 대해, 선형범함수란 다음 성질을 …

핵의 정의와 기본 성질 선형변환에서 가장 중요한 개념 중 하나가 핵(kernel)이다. 핵은 “선형변환을 통해 영벡터(0으로 가는 벡터)만 모이는 원소들의 집합”으로 정의되며, 연립방정식 해 공간이나 선형독립·차원 분석에서 핵의 구조가 큰 역할을 한다. 정의 1. (핵, Kernel) 벡터공간 \(V\)에서 벡터공간 \(W\)로 가는 선형변환 \(T: V \to W\)가 주어졌다고 하자. 이때, 핵(kernel) 혹은 …

표준기저를 통한 변환 행렬 유도 표준기저(standard basis)는 \(\mathbb{R}^n\)에서 가장 직관적으로 정의되는 기저로서, 선형변환을 행렬로 표현하기에 매우 편리하다. 특히 표준기저에 대한 좌표를 이용하면, 선형변환 \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)을 직접 행렬 곱셈으로 해석할 수 있다. 구체적으로, \(\mathbb{R}^n\)의 표준기저를 다음과 같이 표기한다. \[\begin{gathered} \mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0), \\[6pt] \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0), \\[6pt] \vdots \\[6pt] …

선형변환의 개념 벡터공간 사이의 사상(함수) 중에서 가장 중요하게 다뤄지는 것이 선형변환(linear transformation)이다. 선형변환은 대수적 구조(벡터 덧셈과 스칼라배)를 보존하기 때문에, 연립방정식·행렬연산·미분방정식 등 다양한 분야에서 근본적인 역할을 담당한다. 정의 1. (선형변환) 벡터공간 \(V\)와 \(W\)가 같은 체 \(\mathbf{F}\) 위에 정의되어 있다고 하자. 함수 \(T: V \to W\)가 선형변환(linear transformation)이라는 것은, 다음 두 조건을 …

기저 변경과 좌표 변환 공식 유한 차원 벡터공간에서, 하나의 기저를 기준으로 한 벡터의 좌표 표현이 다른 기저로 바뀌면 벡터의 실제 “위치”나 “방향”은 같지만, 그를 나타내는 좌표 벡터가 달라진다. 이를 좌표 변환(coordinate transformation)이라 하며, 기저 변경 간의 상호 변환을 나타내는 선형사상을 잘 이해하는 것이 중요하다. 예를 들어, 벡터공간 \(V\)에 두 개의 …

행렬 공간의 기저 행렬 공간은 벡터공간의 한 예로서, 구체적이면서도 다양한 응용을 품고 있다. 가장 대표적인 예시로는 모든 \(m \times n\) 행렬을 모은 집합 \(M_{m \times n}(\mathbf{F})\)가 있다. 이 공간에서의 벡터연산(행렬 덧셈, 스칼라배)은 각 원소를 성분별로 처리하기 때문에, 일반적인 벡터공간 공리와 자연스럽게 어우러진다. 이제 행렬 공간에 대한 기저를 찾아보자. 기저란, 전체 …

유한 차원과 무한 차원 벡터공간에 기저가 존재한다면, 그 기저의 원소가 유한 개인지 혹은 무한 개인지에 따라 해당 벡터공간을 유한 차원(finite-dimensional) 혹은 무한 차원(infinite-dimensional)이라고 한다. 예컨대 \(\mathbb{R}^n\)은 \(n\)개의 표준기저로 충분히 전체 공간을 생성하기 때문에 유한 차원의 대표적인 예시이며, 다항식공간처럼 기저가 무한하게 필요한 경우(또는 무한 차수를 허용하는 함수공간 등)는 무한 차원 벡터공간의 …