유한차원 벡터공간에서 정의되는 노름은 모두 서로 동치이다. 그러나 무한차원 벡터공간 위에서는 동치가 아닌 서로 다른 노름이 존재할 수 있다. 더욱이, 유한차원 노름벡터공간에서 살펴보았던 정리가 무한차원 노름벡터공간으로 자연스럽게 확장되지 않는다.
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노름(norm)은 실수계의 절댓값과 비슷한 역할을 하며, 노름이 주어진 공간에서는 원소의 거리를 잴 수 있다. 벡터공간에 노름이 주어진 경우 그 벡터공간을 노름벡터공간(normed vector space) 또는 노름선형공간(normed linear space)이라고 부르며, 노름이 주어진 공간이 벡터공간이 명확할 때는 간단히 노름공간이라고 부른다. 내적을 사용하여 노름을 정의할 수 있으므로 임의의 내적공간은 노름공간이다.
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2차원 유클리드 공간과 3차원 유클리드 공간을 통상적인 방법으로 시각화할 때, 우리는 각 벡터의 길이를 생각할 수 있다. 벡터의 ‘길이’를 생각함으로써 벡터공간에서 극한을 다룰 수 있다. 차원이 무한인 경우를 포함하는 일반적인 벡터공간에서도 벡터의 길이와 같은 개념을 도입하면 더욱 다양한 벡터의 성질을 기하학적으로 추론할 수 있고, 그와 같은 벡터공간에서 극한을 다룰 수 …
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LU-분해의 개념 LU-분해(LU decomposition)는 행렬 분해 기법 중 하나로, 정사각행렬 \(A\)를 두 행렬 \(L\)과 \(U\)의 곱으로 나타내는 것이다. 여기서 \(L\)은 하삼각(lower triangular) 행렬이고, \(U\)는 상삼각(upper triangular) 행렬이다. 예를 들어, 임의의 \(n\times n\) 행렬 \(A\)에 대하여 \[ A = L\,U \] 와 같이 분해할 수 있다면, 이를 LU-분해라고 부른다. 정의 1. …
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선형연산자로서의 미분연산 미분연산(differentiation)은 미분방정식을 해석하는 중요한 도구이며, 동시에 선형대수학의 관점에서 선형연산자로 간주될 수 있다. 즉, 적절한 함수공간을 벡터공간으로 보았을 때, 미분은 두 가지 중요한 성질을 만족한다. 함수의 합에 대한 선형성 (\(D(f+g) = D(f) + D(g)\)), 상수배에 대한 선형성 (\(D(cf) = c\,D(f)\)). 이런 관점에서, 미분연산자 \(D\)는 “입력으로 함수를 받고, 그 도함수를 …
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최소제곱해의 존재와 유일성 선형회귀(Linear Regression)는 통계학과 공학 등에서 가장 널리 쓰이는 추정 기법 중 하나로, 주어진 데이터 \(\{(x_i, y_i)\}\)가 “선형” 형태의 관계를 갖는다고 가정하고, 그 오차 제곱합을 최소화하는 선형 모델 \(\displaystyle y \approx \beta_1\,x + \beta_0\)를 찾는 방법이다. 선형회귀나 공학 분야에서 자주 다루는 과제 중 하나는, 연립일차방정식 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)에서 …