힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)의 닫힌 부분벡터공간 \(Y\)이 있을 때 \(Y\)의 직교여공간 \(Y^{\perp}\)을 정의할 수 있다. 또한 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 \(x = y + z\)인 \(y \in Y\)와 \(z \in Y^{\perp}\)가 각각 유일하게 존재한다. 이러한 분해 형태는 여공간의 개념이 얼마나 유용한지 보여주는 예이다. 이 글에서는 여공간의 개념을 더 자세히 살펴보고, …
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X가 F 위에서 정의된 벡터공간일 때, X로부터 F로의 선형변환들의 모임은 벡터공간이다. 특히 X가 노름공간일 때 X로부터 F로의 연속선형범함수의 모임을 X의 쌍대공간이라고 부르고 X’으로 나타낸다. X가 노름공간일 때 X의 쌍대공간의 쌍대공간 (X’)’을 생각할 수 있다. 이 공간을 X의 제2쌍대공간이라고 부르고 X”으로 나타낸다. 이 글에서는 제2쌍대공간의 성질과 쌍대연산자의 성질을 살펴본다.
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이전 글에서 증명 없이 한-바나흐 정리를 소개하였다. 또한 특수한 경우로서 노름벡터공간에서의 한-바나흐 정리의 증명을 소개하였다. 이 글에서는 일반적인 경우에 대한 한-바나흐 정리의 증명을 소개한다.
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이 글에서는 노름공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보자. 이미 이전 글에서 복소벡터공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보았고, 이 글에서 살펴보는 정리는 이전 글에서 살펴보는 정리의 특수한 경우이지만, 노름공간에서의 한-바나흐 정리는 다양한 응용 과정에서 자주 사용되므로 별도로 살펴볼 가치가 있다.
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\(X\)가 \(\mathbb{F}\) 위에서 정의된 벡터공간이고 \(W\)가 \(X\)의 부분공간이라고 하자. \(W\) 위에서 정의된 선형범함수 \(f_W : W \rightarrow \mathbb{F}\)를 다루다 보면 종종 이 함수의 정의역을 \(X\) 전체로 확장해야 하는 경우가 있다. 이 글에서는 선형범함수의 성질을 유지한 채 정의역을 확장한 확장함수를 살펴보자. 확장함수가 본래 함수의 성질을 보존하는지 살피기 위하여 부분선형의 개념을 도입하며, …
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일반적으로 쌍대공간의 원소를 개별적으로 살펴보는 일은 비교적 쉽지만, 쌍대공간 전체의 특징을 식별하는 일은 어렵다. 이 글에서는 우선 유한차원 공간의 쌍대공간의 성질을 살펴본 후, 무한차원 공간의 쌍대공간의 성질을 밝히기 위한 정리를 살펴본다.
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\(A\)가 k차 정사각행렬이고 \(x\in\mathbb{F}^k\)일 때, 연립방정식 \(Ax = y\)를 푸는 방법 중 하나는 역행렬 \(A^{-1}\)를 찾고 해를 \(x = A^{-1}y\)로 구하는 것이다. 이것은 \(A\)의 역행렬이 존재할 때 가능하다. 이 글에서는 이와 같은 상황을 무한차원으로 확장하여 살펴보자.
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이 글에서는 노름공간 X와 Y 사이의 연속선형연산자의 모임으로 이루어진 공간 B(X, Y)의 구조를 살펴보자. Y가 완비일 때 B(X, Y)가 완비공간이라는 사실을 밝힌다. 또한 연속선형연산자의 곱을 정의하고 B(X)의 대수적 구조를 밝힌다.
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X와 Y가 노름공간일 때 B(X, Y)는 벡터공간이다. 이 글에서는 B(X, Y)에 적절한 연산자노름을 정의하고, B(X, Y)가 노름벡터공간이라는 사실을 살펴보자. 또한 등거리변환 개념을 도입하고, 가분 힐베르트 공간과 등거리동형인 공간을 살펴보자.
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이전 글에서 유한차원 내적공간에서의 직교성 개념과 직교여공간을 살펴보았다. 이 글에서는 유한차원 공간에서 살펴보았던 직교정규기저의 개념을 무한차원 공간으로 확장한 개념을 소개한다.