April 2025

“함수해석학 맛보기”는 제가 함수해석학을 공부하면서 정리한 글입니다. 학부 수준에서 볼 만한 내용을 다루고 있습니다. 단순한 개념 요약이 아니라 핵심 내용을 체계적으로 정리하고자 노력했으며, 선형대수학 지식을 바탕으로 직관적으로 이해하는 데 초점을 맞추어 작성했습니다. 총 29편의 글로 이루어져 있으며, 주로 선형대수학에서 다루었던 개념을 차원이 무한인 경우로 확장한 내용을 정리하였습니다. 함수해석학을 공부하기 위해 …

이 글에서는 복소힐베르트 공간에서 정의된 자기수반 컴팩트 연산자의 스펙트럼을 살펴보자. 자기수반 컴팩트 연산자의 경우 일반적인 컴팩트 연산자보다 스펙트럼에 관련된 더 좋은 결론을 끌어낼 수 있다. 왜냐하면 자기수반이라는 조건이 추가되었을 때 그 연산자에 대한 불변공간을 다룰 수 있기 때문이다. 정의 1. (불변부분공간) \(X\)가 벡터공간이고 \(S \in L(X)\)라고 하자. 부분벡터공간 \(W \subset …

유한차원 힐베르트공간에서 선형연산자 \(T\)의 스펙트럼 \(\sigma (T)\)는 중복도가 유한인 유한 개의 고윳값으로 이루어져 있다. 무한차원 힐베르트공간에서 정의된 선형연산자의 스펙트럼은 그 형태가 매우 다를 수 있다. 그러나 컴팩트연산자의 스펙트럼은 유한차원에서 정의된 선형연산자와 스펙트럼과 유사한 성질을 가진다. 즉 무한차원 힐베르트공간에서 정의된 컴팩트연산자 \(T\)의 스펙트럼 \(\sigma (T)\)는 중복도가 유한인 가산 개의 \(0\)이 아닌 …

컴팩트연산자는 유한차원 선형대수학에서 살펴본 선형변환의 많은 성질을 무한차원에서도 유지하고 있는 유용한 연산자이다. 이 글에서는 컴팩트연산자의 개념과 그 성질을 살펴본다. 별다른 언급이 없으면, 이 글에서 벡터공간은 복소체 위에서 정의된 것으로 약속한다. 정의 1. (컴팩트연산자) \(X\)와 \(Y\)를 노름공간이라고 하자. 선형변환 \(T \in L(X,\, Y)\)가 컴팩트연산자라는 것은, \(X\)에서 임의의 유계수열 \(\{x_n\}\)에 대해, \(Y\)에서의 …

\(\mathcal{H}\)가 복소힐베르트공간이고 \(S \in B(\mathcal{H})\)가 자기수반연산자이면 다음 두 조건은 서로 필요충분조건이다. \(\sigma(S) \subseteq [0, \,\infty)\) 모든 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 \(\langle Sx,\,x \rangle \geq 0\)이다. 이와 같은 조건을 만족시키는 연산자는 유용한 성질을 가진다. 이 글에서는 위 조건을 만족시키는 연산자의 다양한 성질을 살펴본다. 정의 1. (양연산자와 양행렬) \(\mathcal{H}\)가 복소힐베르트공간이고 \(S \in …

정사각행렬 \(A\)가 주어졌을 때, 이 행렬의 고윳값과 관련하여 고려해야 할 중요한 집합은 다음과 같다. \[\mathcal{A} = \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, A – \lambda I \text{ is not invertible.}\}\] 실제로 집합 \(\mathcal{A}\)는 행렬 \(A\)의 고윳값의 집합이다. 유한차원 벡터공간을 다루는 선형대수학의 많은 부분에서 고윳값이 등장하기 때문에, 고윳값의 집합의 개념을 무한차원 공간으로 확장하면 …

수반연산자는 여러 가지 연산자의 특성을 파악할 수 있게 해주는 개념이다. 특히 수반연산자를 사용하여 정규연산자, 자기수반연산자, 유니타리연산자를 정의할 수 있다. 이들 연산자는 선형대수학과 함수해석학에서 자주 등장한다. 우선 정규연산자를 살펴보자. 정의 1. (정규연산자와 정규행렬) \(\mathcal{H}\)가 복소힐베르트공간이고 \(T \in B(\mathcal{H})\)라고 하자. 이때 \(T\)가 정규연산자라는 것은 \[TT^* = T^*T\] 가 성립함을 의미한다. \(A\)가 정사각행렬이라고 …

힐베르트 공간에서 정의된 연산자의 공간에 특정한 구조를 부여하여 연산자의 가역성 판별과 관련된 유용한 결과를 얻을 수 있다. 이것이 바로 “수반연산자”이다. 이 글에서는 수반연산자의 개념을 살펴보고, 수반연산자를 구하는 몇 가지 예를 살펴본다. 그 뒤 수반연산자의 성질을 살펴보고, 그러한 성질이 연산자의 가역성과 어떠한 관계가 있는지 살펴본다. 그런 다음, 수반연산자 개념을 바탕으로 정규연산자, …

\(\mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{C}\) 위에서 정의된 유한차원 벡터공간의 부분집합이 컴팩트이기 위한 필요충분조건은 유계이고 닫힌 집합인 것이다. 그러나 무한차원 공간에서는 이러한 필요충분조건이 성립하지 않는다. 이 글에서는 지금까지 사용했던 수렴보다 약한 수렴의 정의를 도입하고, 그와 같은 정의를 바탕으로 집합이 컴팩트이기 위한 조건에 관한 정리가 부분적으로 성립함을 살펴보고자 한다. 이 글에서 별다른 언급이 없는 …

힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)의 닫힌 부분벡터공간 \(Y\)이 있을 때 \(Y\)의 직교여공간 \(Y^{\perp}\)을 정의할 수 있다. 또한 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 \(x = y + z\)인 \(y \in Y\)와 \(z \in Y^{\perp}\)가 각각 유일하게 존재한다. 이러한 분해 형태는 여공간의 개념이 얼마나 유용한지 보여주는 예이다. 이 글에서는 여공간의 개념을 더 자세히 살펴보고, …