2024 수능 수학 선택과목 미적분(23-30번) 풀이

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$f(x)=\ln x$라고 하면 $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x},f^{\prime }(1)=1$$ 이다. 미분계수의 정의에 따라 문제의 극한의 값을 구하면 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+3x)}{\ln (1+5x)}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{\ln (1+3x)-\ln 1}{3x}\times 3}{\frac{\ln (1+5x)-\ln 1}{5x}\times 5}\\ & =\frac{f^{\prime }(1)\times 3}{f^{\prime }(1)\times 5}=\frac{3}{5}.\end{array}$$

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매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 사용하자. $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\pi \cos \pi t}{\frac{3t^2}{t^3+1}}.$$ 이 식에 $t=1$을 대입하면 $$\frac{dy}{dx}=\frac{-\pi }{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}\pi .$$

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임의의 양수 $x$에 대하여 $${\int }_1^x\frac{1}{g^{\prime }(f(t))f(t)}dt=2\ln x+\ln (x+1)-\ln 2$$ 이므로, 이 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 다음과 같다. $$\begin{array}{}\text{(*)}& \frac{1}{g^{\prime }(f(x))f(x)}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x+1}.\end{array}$$ 이 식에 $x=1$을 대입하면 $$g^{\prime }(8)\times 8=\frac{2}{5}$$ 이므로, $g^{\prime }(8)>0$이다. $g(x)$의 정의역과 치역이 모두 양의 실수 전체의 집합이고, 일대일 함수이므로, $g(x)$는 순증가하거나 또는 순감소해야 한다. 그런데 $g^{\prime }(8)>0$이므로 $g(x)$는 순증가하는 함수이다.

한편 (*)을 변형하면 $$g^{\prime }(f(x))f(x)=\frac{x^2+x}{3x+2}$$ 이므로 $$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\cdot \frac{x^2+x}{3x+2}=g^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)$$ 이다. 이 등식의 우변은 합성함수의 미분 $(g\circ f{)}^{\prime }(x)$와 같다. 그런데 $g$와 $f$가 서로 역함수 관계이므로 $g\circ f$는 항등함수이며, $(g\circ f{)}^{\prime }(x)=1$이다. 즉 $$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\cdot \frac{x^2+x}{3x+2}=1$$ 이다. 그러므로 $$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{3x+2}{x^2+x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x+1}$$ 이며, 양변의 역도함수를 구하면 $$\ln f(x)=2\ln x+\ln (x+1)+C$$ 이다. 여기서 $C$는 상수이다. $x=1$을 대입하면 $$\ln 8=\ln 2+C$$ 이므로, $C=\ln 4$이다. 즉 $$\ln f(x)=\ln x^2+\ln (x+1)+\ln 4=\ln (x^2\times (x+1)\times 4)$$ 이며, $$f(x)=4x^2(x+1)$$ 이다. 그러므로 구하는 값은 $$f(2)=2^2\times 3\times 4=48.$$

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입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S(x)$라고 하자. 그리고 $$a=\frac{3}{4}\pi ,b=\frac{5}{4}\pi$$ 라고 하자. 그러면 구하는 부피 $V$는 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}V& ={\int }_a^{b}S(x)dx\\ & ={\int }_a^b{\left(\sqrt{(1-2x)\cos x}\right)}^{2}dx\\ & ={\int }_a^b(\cos x-2x\cos x)dx\\ & =[\sin x-2\cos x-2x\sin x{]}_a^b\\ & =(\sin \frac{5}{4}\pi -2\cos \frac{5}{4}\pi -2\cdot \frac{5}{4}\pi \cdot \sin \frac{5}{4}\pi )\\ & -(\sin \frac{3}{4}\pi -2\cos \frac{3}{4}\pi -2\cdot \frac{3}{4}\pi \cdot \sin \frac{3}{4}\pi )\\ & =2\sqrt{2}\pi -\sqrt{2}.\end{array}$$

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함수 $y=e^{-x}+e^t$를 $x$에 대하여 미분하면 $y^{\prime }=-e^{-x}$이므로, $x=p$일 때 곡선 $y=e^{-x}+e^t$의 접선의 방정식은 $$\begin{array}{}\text{(1)}& y=-e^{-p}(x-p)+e^{-p}+e^t\end{array}$$ 이다. 이 접선이 원점을 지날 때 직선의 기울기가 $f(t)$의 값이므로, $$\begin{array}{}\text{(2)}& f(t)=-e^{-p}\end{array}$$ 이다.

한편 접선 (1)이 원점을 지나므로 $x=0,$ $y=0$을 대입하면 $$0=e^{-p}\cdot p+e^{-p}+e^t$$ 즉 $$\begin{array}{}\text{(3)}& e^t=-e^{-p}(p+1)\end{array}$$ 이다. (3)의 양변을 $t$에 대하여 미분하면, 음함수 미분법에 의하여 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}{e}^t& =\{e^{-p}(p+1)-e^{-p}\}\frac{dp}{dt},\\ e^t& =p{e}^{-p}\frac{dp}{dt},\\ \frac{dp}{dt}& =e^t\frac{e^p}{p}.\end{array}$$ 그러므로 (2)에서 $f(t)$를 $t$에 대하여 미분한 도함수는 다음과 같다. $$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{d}{dt}f(t)=e^{-p}\frac{dp}{dt}=\frac{e^t}{p}.\end{array}$$ 한편 (3)에 $t=a,$ $f(t)=-e\sqrt{e}$를 대입하고 (2)와 결합하면 다음을 얻는다. $$\begin{array}{rl}{e}^a& =-e\sqrt{e}(-\frac{3}{2}+1)\\ & =-e^{\frac{3}{2}}\times (-\frac{1}{2})\\ & =\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{2}}.\end{array}$$ 즉 $t=a$일 때 $$e^a=\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{2}},p=-\frac{3}{2}$$ 이다. 이 결과를 사용하여 $t=a$일 때 $f^{\prime }(t)$의 값을 구하자. (4)에 $t$의 값과 $p$의 값을 대입하여 계산하면 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}{\frac{d}{dt}f(t)|}_{t=a}& =\frac{e^a}{-\frac{3}{2}}\\ & =-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{2}}\\ & =-\frac{1}{3}e\sqrt{e}.\end{array}$$

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우선 $x<0$일 때 $$f^{\prime }(x)=-4e^{4x^2}(1+8x^2)<0$$ 이므로 $f$는 감소함수이다. 또한 $$\underset{x\to 0-}{lim}f(x)=0$$ 이므로, $f(0)=0$이다.

만약 조건 (1)에서 $k=0$이라면, $x<0$일 때 $y=f(x)$의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동한 뒤 $y$축을 중심으로 좌우로 $2$배 확대한 것이 $x>0$일 때의 그래프가 된다. 만약 $k>0$이라면, $y=f(x)$의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동한 뒤 $y$축을 중심으로 좌우로 $2$배 확대하고 오른쪽($x$축의 양의 방향)으로 $k$만큼 평행이동한 것이 $x>k$일 때의 그래프가 된다. 단, 이때 $0\le x\le k$일 때 $f(x)=0$이다.

따라서 $x>k$일 때 $f(x)$는 다음과 같다. $$f(x)=4\times \frac{x-k}{2}\times e^{4{\left(\frac{x-k}{2}\right)}^2}=2(x-k)e^{(x-k{)}^2}$$ 이 결과를 사용하여 (2)의 좌변의 적분을 계산하면 다음과 같다. $${\int }_k^{7}f(x)dx=[e^{(x-k{)}^2}{]}_k^7=e^{(7-k{)}^2}-1=e^4-1.$$ 이 식을 $k$에 대하여 풀면 $k=5$이다.

이제 $x>k$일 때 $f(x)$를 구하면 $$f(x)=2(x-5)e^{(x-5{)}^2}$$ 이다. 이때 $$f(9)=8e^{16},f(8)=6e^9$$ 이므로 구하는 값은 다음과 같다. $$\frac{f(9)}{f(8)}=\frac{4}{3}{e}^7.$$

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수열 $\left\{a_n\right\}$의 첫째항을 $a,$ 공비를 $r$라고 하자. 그리고 수열 $\left\{b_n\right\}$의 첫째항을 $b,$ 공비를 $q$라고 하자. 그러면 $$\begin{array}{rl}{a}_n& =a{r}^{n-1},\\ b_n& =b{q}^{n-1},\\ a_n{b}_n& =ab(rq{)}^{n-1}\end{array}$$ 이므로, $\left\{a_n{b}_n\right\}$은 첫째항이 $ab$이고 공비가 $rq$인 등비수열이다. 따라서 (1)은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{ab}{1-rq}=\frac{a}{1-r}\cdot \frac{b}{1-q}.$$ 이 식을 $q$에 대하여 풀면 다음과 같다. $$\begin{array}{}\text{(4)}& q=\frac{r}{2r-1}\end{array}$$ 한편 $$\begin{array}{rl}\left|a_{2n}\right|& =\left|a{r}^{2n-1}\right|=\left|ar\right|{\left|r^2\right|}^{n-1},\\ \left|a_{3n}\right|& =\left|a{r}^{3n-1}\right|=\left|a{r}^2\right|{\left|r^3\right|}^{n-1}\end{array}$$ 이므로, (2)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$3\times \frac{\left|ar\right|}{1-|r{|}^2}=7\times \frac{\left|a{r}^2\right|}{1-|r{|}^3}.$$ 이 식을 풀면 $$(2|r|+3)(2|r|-1)(|r|-1)=0$$ 이므로 $$|r|=\frac{1}{2}$$ 이다. 그런데 $r=\frac{1}{2}$이면 (4)에서 $q=\frac{r}{0}$이 되어 모순이다. 그러므로 $$r=-\frac{1}{2},q=\frac{1}{4}$$ 이다. 이 결과를 사용하여 (3)을 구하자. $$\frac{b_{2n-1}+b_{3n+1}}{b_n}=\frac{b{q}^{2n-2}+b{q}^{3n}}{b{q}^{n-1}}=q^{n-1}+q^{2n+1}$$ 이므로 $$S=\frac{1}{1-q}+\frac{q^3}{1-q^2}=\frac{81}{60}$$ 이다. 따라서 $120S=162$이다.

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자연수 $n$에 대하여, $2n\pi <x<(2n+1)\pi$일 때 $$f^{\prime }(x)=\sin x\cdot \cos x,f(x)=\frac{1}{2}{\sin }^{2}x+C_1$$ 이며, $(2n+1)\pi <x<(2n+2)\pi$일 때 $$f^{\prime }(x)=-\sin x\cdot \cos x,f(x)=-\frac{1}{2}{\sin }^{2}x+C_2$$ 이다. $f$가 연속함수가 되려면 $C_1=C_2$이다. $C_1$과 $C_2$의 값을 모두 $C$로 두고, 함수 $y=f(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

함수 $h(x)$가 $x=a$에서 극대 또는 극소가 되려면 $x$가 $a$를 지날 때 $f(x)-g(x)$의 부호가 달라져야 한다. 그런데 $y=g(x)$가 $y=f(x)$의 그래프의 접선의 방정식이므로, 이와 같은 조건을 만족시키려면 $x=a$일 때 $y=f(x)$의 그래프가 변곡점을 가져야 한다. 이와 같은 점을 모두 찾으면 다음과 같다. $$a_1=\frac{1}{4}\pi ,a_2=\frac{3}{4}\pi ,a_3=\pi ,\cdots a_6=2\pi ,\cdots$$ 그러므로 $$a_6-a_2=2\pi -\frac{3}{4}\pi =\frac{5}{4}\pi$$ 이며, 구하는 값은 다음과 같다. $$\frac{100}{\pi }\times \frac{5}{4}\pi =125.$$