2023년 11월 16일에 실시한 대학수학능력시험 수학 선택과목 미적분(23번-30번) 풀이입니다. 문제의 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 풀이의 저작권은 이 블로그 주인에게 있습니다. (이메일: tomie＠ly4i.com)
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문제 23. 다음 값을 구하시오. [2점] \[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln (1+3x)}{\ln (1+5x)} .\]
풀이
\(f(x) = \ln x\)라고 하면 \[f ' (x) = \frac{1}{x} ,\quad f ' (1) = 1\] 이다. 미분계수의 정의에 따라 문제의 극한의 값을 구하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln (1+3x)}{\ln (1+5x)} &= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ \frac{\ln (1+3x) - \ln 1}{3x} \times 3 }{ \frac{\ln (1+5x) - \ln 1}{5x} \times 5 } \\[6pt] &= \frac{f ' (1) \times 3}{f ' (1) \times 5} = \frac{3}{5}. \end{aligned}\]
문제 24. 매개변수 \(t\)로 나타내어진 곡선 \[x = \ln (t^3 + 1 ) ,\quad y = \sin \pi t \quad (t \ge 0 )\] 에서 \(t=1\)일 때, \(\frac{dy}{dx}\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 사용하자. \[\frac{dy}{dx} = \frac{ \, \frac{dy}{dt} \, }{\, \frac{dx}{dt} \,} = \frac{\pi \cos \pi t}{ \frac{3t^2}{t^3 + 1} } .\] 이 식에 \(t=1\)을 대입하면 \[\frac{dy}{dx} = \frac{-\pi}{\frac{3}{2}} = - \frac{2}{3} \pi .\]
문제 25. 양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분 가능한 두 함수 \(f(x),\) \(g(x)\)가 있다. \(g(x)\)는 \(f(x)\)의 역함수이고, \(g ' (x)\)는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다. 모든 양수 \(a\)에 대하여 \[\int_{1}^{a} \frac{1}{g ' (f(x)) f(x) }dx = 2\ln a + \ln (a+1) - \ln 2\] 이고 \(f(1)=8\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
임의의 양수 \(x\)에 대하여 \[\int_{1}^{x} \frac{1}{g ' (f(t)) f(t) }dt = 2\ln x + \ln (x+1) - \ln 2\] 이므로, 이 등식의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 다음과 같다. \[\frac{1}{g ' (f(x))f(x)} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1} .\tag{*}\] 이 식에 \(x=1\)을 대입하면 \[g ' (8) \times 8 = \frac{2}{5}\] 이므로, \(g ' (8) > 0\)이다. \(g(x)\)의 정의역과 치역이 모두 양의 실수 전체의 집합이고, 일대일 함수이므로, \(g(x)\)는 순증가하거나 또는 순감소해야 한다. 그런데 \(g ' (8) > 0\)이므로 \(g(x)\)는 순증가하는 함수이다.
한편 (*)을 변형하면 \[g ' (f(x)) f(x) = \frac{x^2 +x}{3x+2}\] 이므로 \[\frac{f ' (x)}{f(x)} \cdot \frac{x^2 +x}{3x+2} = g ' (f(x)) f ' (x)\] 이다. 이 등식의 우변은 합성함수의 미분 \((g\circ f) '(x)\)와 같다. 그런데 \(g\)와 \(f\)가 서로 역함수 관계이므로 \(g\circ f\)는 항등함수이며, \((g\circ f)'(x) = 1\)이다. 즉 \[\frac{f ' (x)}{f(x)} \cdot \frac{x^2 +x}{3x+2} = 1\] 이다. 그러므로 \[\frac{f ' (x)}{f(x)} = \frac{3x+2}{x^2 +x} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1}\] 이며, 양변의 역도함수를 구하면 \[\ln f(x) = 2\ln x + \ln (x+1) +C\] 이다. 여기서 \(C\)는 상수이다. \(x=1\)을 대입하면 \[\ln 8 = \ln 2 +C\] 이므로, \(C = \ln 4\)이다. 즉 \[\ln f(x) = \ln x^2 + \ln (x+1) + \ln 4 = \ln (x^2 \times (x+1) \times 4)\] 이며, \[f(x) = 4x^2 (x+1)\] 이다. 그러므로 구하는 값은 \[f(2) = 2^2 \times 3 \times 4 = 48.\]
문제 26. 그림과 같이 곡선 \[y = \sqrt{(1-2x)\cos x} \quad \left( \frac{3}{4} \pi \le x \le \frac{5}{4} \pi \right)\] 와 \(x\)축 및 두 직선 \[x = \frac{3}{4} \pi ,\quad x = \frac{5}{4} \pi\] 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오. [3점]
풀이
입체도형을 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 \(S(x)\)라고 하자. 그리고 \[a = \frac{3}{4} \pi ,\quad b = \frac{5}{4} \pi\] 라고 하자. 그러면 구하는 부피 \(V\)는 다음과 같다. \[\begin{aligned} V &= \int_a^b S(x) dx \\[6pt] &= \int_a^b \left( \sqrt{ (1-2x) \cos x} \right)^2 dx \\[6pt] &= \int_a^b (\cos x - 2x \cos x ) dx \\[6pt] &= \bigg[ \sin x - 2 \cos x - 2x \sin x \bigg]_a^b \\[6pt] &= \left( \sin \frac{5}{4} \pi - 2 \cos \frac{5}{4} \pi - 2 \cdot \frac{5}{4} \pi \cdot \sin \frac{5}{4} \pi \right )\\[4pt] & \quad\quad - \left( \sin \frac{3}{4} \pi - 2 \cos \frac{3}{4} \pi - 2 \cdot \frac{3}{4} \pi \cdot \sin \frac{3}{4} \pi \right ) \\[6pt] &= 2\sqrt{2} \pi - \sqrt{2} . \end{aligned}\]
문제 27. 실수 \(t\)에 대하여 원점을 지나고 곡선 \[y= \frac{1}{e^x} + e^t\] 에 접하는 직선의 기울기를 \(f(t)\)라고 하자. \(f(a) = - e\sqrt{e}\)를 만족시키는 상수 \(a\)에 대하여 \(f ' (a)\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
함수 \(y = e^{-x} + e^{t}\)를 \(x\)에 대하여 미분하면 \(y ' = -e^{-x}\)이므로, \(x=p\)일 때 곡선 \(y = e^{-x} + e^{t}\)의 접선의 방정식은 \[y= -e^{-p} (x-p) + e^{-p} + e^t \tag{1}\] 이다. 이 접선이 원점을 지날 때 직선의 기울기가 \(f(t)\)의 값이므로, \[f(t) = -e^{-p}\tag{2}\] 이다.
한편 접선 (1)이 원점을 지나므로 \(x=0 ,\) \(y=0\)을 대입하면 \[0 = e^{-p} \cdot p + e^{-p} + e^t\] 즉 \[e^t = -e^{-p} (p+1)\tag{3}\] 이다. (3)의 양변을 \(t\)에 대하여 미분하면, 음함수 미분법에 의하여 다음과 같다. \[\begin{aligned} e^t &= \left\{ e^{-p} (p+1) - e^{-p} \right\} \frac{dp}{dt} ,\\[6pt] e^t &= pe^{-p} \frac{dp}{dt} ,\\[6pt] \frac{dp}{dt} &= e^t \frac{e^p}{p}. \end{aligned}\] 그러므로 (2)에서 \(f(t)\)를 \(t\)에 대하여 미분한 도함수는 다음과 같다. \[\frac{d}{dt} f(t) = e^{-p} \frac{dp}{dt} = \frac{e^t}{p} .\tag{4}\] 한편 (3)에 \(t=a ,\) \(f(t) = -e\sqrt{e}\)를 대입하고 (2)와 결합하면 다음을 얻는다. \[\begin{aligned} e^a &= -e\sqrt{e} \left( -\frac{3}{2} +1 \right) \\[6pt] &= -e ^{\frac{3}{2}} \times \left( -\frac{1}{2} \right) \\[6pt] &= \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2}}. \end{aligned}\] 즉 \(t=a\)일 때 \[e^a = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2}} ,\quad p = - \frac{3}{2}\] 이다. 이 결과를 사용하여 \(t=a\)일 때 \(f ' (t)\)의 값을 구하자. (4)에 \(t\)의 값과 \(p\)의 값을 대입하여 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \left. \frac{d}{dt} f(t) \right\rvert_{t=a} &= \frac{e^a}{- \frac{3}{2}} \\[6pt] &= - \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2}} \\[6pt] &= - \frac{1}{3} e\sqrt{e}. \end{aligned}\]
문제 28. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)\ge 0\)이고, \(x < 0\)일 때 \(f(x) = -4xe^{4x^2}\)이다. 모든 양수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x)=t\)의 서로 다른 실근의 개수는 \(2\)이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 \(g(t),\) 큰 값을 \(h(t)\)라고 하자. 두 함수 \(g(t),\) \(h(t)\)는 모든 양수 \(t\)에 대하여 \[2 g(t) + h(t) = k \tag{1}\] 를 만족시킨다. 여기서 \(k\)는 상수이다. \[\int_0^7 f(x)dx = e^4 -1\tag{2}\] 일 때 \(\frac{f(9)}{f(8)}\)의 값을 구하시오. [4점]
풀이
우선 \(x < 0\)일 때 \[f ' (x) = -4e^{4x^2} (1+8x^2 ) < 0\] 이므로 \(f\)는 감소함수이다. 또한 \[\lim_{x\rightarrow 0-} f(x) =0\] 이므로, \(f(0)=0\)이다.
만약 조건 (1)에서 \(k=0\)이라면, \(x < 0\)일 때 \(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축에 대하여 대칭이동한 뒤 \(y\)축을 중심으로 좌우로 \(2\)배 확대한 것이 \(x > 0\)일 때의 그래프가 된다. 만약 \(k > 0\)이라면, \(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축에 대하여 대칭이동한 뒤 \(y\)축을 중심으로 좌우로 \(2\)배 확대하고 오른쪽(\(x\)축의 양의 방향)으로 \(k\)만큼 평행이동한 것이 \(x > k\)일 때의 그래프가 된다. 단, 이때 \(0 \le x \le k\)일 때 \(f(x)=0\)이다.
따라서 \(x > k\)일 때 \(f(x)\)는 다음과 같다. \[f(x) = 4\times \frac{x-k}{2} \times e^{4\left( \frac{x-k}{2} \right)^2} = 2(x-k)e^{(x-k)^2}\] 이 결과를 사용하여 (2)의 좌변의 적분을 계산하면 다음과 같다. \[\int_{k}^{7} f(x)dx = \bigg[ e^{(x-k)^2} \bigg]_k^7 = e^{(7-k)^2} -1 = e^4 - 1.\] 이 식을 \(k\)에 대하여 풀면 \(k=5\)이다.
이제 \(x > k\)일 때 \(f(x)\)를 구하면 \[f(x) = 2(x-5)e^{(x-5)^2}\] 이다. 이때 \[f(9) = 8e^{16} ,\quad f(8) = 6e^9\] 이므로 구하는 값은 다음과 같다. \[\frac{f(9)}{f(8)} = \frac{4}{3} e^7 .\]
문제 29. 첫째항과 공비가 각각 \(0\)이 아닌 두 등비수열 \(\left\{ a_n \right\} ,\) \(\left\{ b_n \right\}\)에 대하여 두 급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n ,\quad \sum_{n=1}^{\infty} b_n \] 이 각각 수렴하고, 다음 두 등식을 만족시킨다. \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \left( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right) \times \left( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \right) ,\tag{1}\] \[3\times \sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_{2n} \right\rvert = 7\times \sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_{3n} \right\rvert . \tag{2}\] 합 \(S\)를 다음과 같이 정의하자. \[S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{2n-1} + b_{3n+1}}{b_n}.\tag{3}\] 이때 \(120S\)의 값을 구하시오. [4점]
풀이
수열 \(\left\{a_n \right\}\)의 첫째항을 \(a,\) 공비를 \(r\)라고 하자. 그리고 수열 \(\left\{ b_n \right\}\)의 첫째항을 \(b,\) 공비를 \(q\)라고 하자. 그러면 \[\begin{aligned} a_n &= ar^{n-1} ,\\[6pt] b_n &= bq^{n-1} ,\\[6pt] a_n b_n &= ab (rq)^{n-1} \end{aligned}\] 이므로, \(\left\{ a_n b_n \right\}\)은 첫째항이 \(ab\)이고 공비가 \(rq\)인 등비수열이다. 따라서 (1)은 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[\frac{ab}{1-rq} = \frac{a}{1-r} \cdot \frac{b}{1-q}.\] 이 식을 \(q\)에 대하여 풀면 다음과 같다. \[q = \frac{r}{2r-1}\tag{4}\] 한편 \[\begin{aligned} \left\lvert a_{2n} \right\rvert &= \left\lvert ar^{2n-1} \right\rvert = \left\lvert ar \right\rvert \left\lvert r^2 \right\rvert^{n-1}, \\[6pt] \left\lvert a_{3n} \right\rvert &= \left\lvert ar^{3n-1} \right\rvert = \left\lvert ar^2 \right\rvert \left\lvert r^3 \right\rvert^{n-1} \end{aligned}\] 이므로, (2)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[3\times \frac{\left\lvert ar \right\rvert}{ 1-\lvert r \rvert^2 } = 7\times \frac{ \left\lvert ar^2 \right\rvert }{ 1 - \lvert r \rvert ^3} .\] 이 식을 풀면 \[(2 \lvert r \rvert +3 )(2 \lvert r \rvert -1 )(\lvert r \rvert -1 ) =0\] 이므로 \[\lvert r \rvert = \frac{1}{2}\] 이다. 그런데 \(r=\frac{1}{2}\)이면 (4)에서 \(q = \frac{r}{0}\)이 되어 모순이다. 그러므로 \[r = - \frac{1}{2} ,\quad q = \frac{1}{4}\] 이다. 이 결과를 사용하여 (3)을 구하자. \[\frac{b_{2n-1} + b_{3n+1}}{b_n} = \frac{bq^{2n-2} + bq^{3n}}{bq^{n-1}} = q^{n-1} + q^{2n+1}\] 이므로 \[S = \frac{1}{1-q} + \frac{q^3}{1-q^2} = \frac{81}{60}\] 이다. 따라서 \(120S = 162\)이다.
문제 30. 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f ' (x)\)가 \[f ' (x) = \lvert \sin x \rvert \cos x\] 이다. 양수 \(a\)에 대하여, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((a,\,\,f(a))\)에서의 접선의 방정식을 \(y=g(x)\)라고 하자. 함수 \[h(x) = \int_{0}^{x} \left\{ f(t) - g(t) \right\} dt\] 가 \(x=a\)에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 \(a\)를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, \(n\)번째 수를 \(a_n\)이라고 하자. 이때 \[\frac{100}{\pi} \times \left( a_6 - a_2 \right)\] 의 값을 구하시오. [4점]
풀이
자연수 \(n\)에 대하여, \(2n\pi < x < (2n+1) \pi\)일 때 \[f ' (x) = \sin x \cdot \cos x ,\quad f(x) = \frac{1}{2} \sin^2 x +C_1 \] 이며, \((2n+1)\pi < x < (2n+2)\pi\)일 때 \[f ' (x) = - \sin x \cdot \cos x ,\quad f(x) = -\frac{1}{2} \sin^2 x +C_2 \] 이다. \(f\)가 연속함수가 되려면 \(C_1 = C_2\)이다. \(C_1\)과 \(C_2\)의 값을 모두 \(C\)로 두고, 함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 그리면 다음과 같다.
함수 \(h(x)\)가 \(x=a\)에서 극대 또는 극소가 되려면 \(x\)가 \(a\)를 지날 때 \(f(x)-g(x)\)의 부호가 달라져야 한다. 그런데 \(y=g(x)\)가 \(y=f(x)\)의 그래프의 접선의 방정식이므로, 이와 같은 조건을 만족시키려면 \(x=a\)일 때 \(y=f(x)\)의 그래프가 변곡점을 가져야 한다. 이와 같은 점을 모두 찾으면 다음과 같다. \[a_1 = \frac{1}{4} \pi ,\quad a_2 = \frac{3}{4} \pi ,\quad a_3 = \pi ,\quad \cdots \quad a_6 = 2\pi ,\quad \cdots \] 그러므로 \[a_6 - a_2 = 2\pi - \frac{3}{4} \pi = \frac{5}{4}\pi\] 이며, 구하는 값은 다음과 같다. \[\frac{100}{\pi} \times \frac{5}{4} \pi = 125.\]