양연산자와 직교사영

풀이

1. \(I\)와 \(0\)은 자기수반연산자이다. 한편 \(x \in \mathcal{H}\)일 때 \[\langle Ix,\,x \rangle = \langle x,\,x \rangle \geq 0\] 이고 \[\langle 0x,\,x \rangle = \langle 0,\,x \rangle = 0\] 이므로, \(0\)과 \(I\)는 양연산자이다.
2. \(T^*T\)는 자기수반연산자이다. 한편 \(x \in \mathcal{H}\)일 때 \[\langle T^*Tx,\,x \rangle = \langle Tx,\,Tx \rangle \geq 0\] 이므로, \(T^*T\)는 양연산자이다.
3. \(R + S\)와 \(\alpha S\)는 자기수반연산자이다. 한편 \(x \in \mathcal{H}\)일 때 \[\langle (R + S)x,\,x \rangle = \langle Rx,\,x \rangle + \langle Sx,\,x \rangle \geq 0\] 이고 \[\langle (\alpha S)x,\,x \rangle = \alpha\langle Sx,\,x \rangle \geq 0\] 이므로, \(R + S\)와 \(\alpha S\)는 양연산자이다.

풀이

\(A\)는 \(1\)과 \(-1\)을 고윳값으로 가지는 자기수반행렬이다.
따라서 \(\sigma(A) = \{1,\, -1\}\)이며, \(A\)와 \(-A\) 중 어느 것도 양행렬이 아니다.

풀이

\(\mathbb{C}^3\)가 유한차원 공간이므로 \(P \in B(\mathbb{C}^3)\)이고, \(P^2 = P\)이다. 또한 \[\langle P(x,\,y,\,z),\,(u,\,v,\,w) \rangle = x\overline{u} + y\overline{v} = \langle (x,\,y,\,z),\,P(u,\,v,\,w) \rangle\] 이므로 \(P\)도 자기수반연산자이다. 따라서 \(P\)는 직교사영이다.

증명

1. \(x \in \mathcal{H}\)이고 \(x = y + z\)가 \(x\)의 직교분해이며, \(y \in \mathcal{M}\)이고 \(z \in \mathcal{M}^\perp\)라고 하자. 이런 \(x,\) \(y,\) \(z\)에 대하여, 함수 \(P_\mathcal{M} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}\)의 함숫값을 \(P_\mathcal{M} (x) = y\)로 정의하자. \(P_\mathcal{M}\)이 직교사영임을 보이자.
   첫 번째 단계는 \(P_\mathcal{M}\)이 선형변환임을 보이는 것이다. \(x_1,\, x_2 \in \mathcal{H}\)이라고 하고, 두 벡터가 각각 직교분해 \[x_1 = y_1 + z_1 ,\quad x_2 = y_2 + z_2\] 로 표현된다고 하자. 물론 여기서 \(y_1,\, y_2 \in \mathcal{M}\)이고 \(z_1,\, z_2 \in \mathcal{M}^\perp\)이다. \(\lambda,\, \mu \in \mathbb{C}\)라고 하자. 그러면 \(\mathcal{M}\)과 \(\mathcal{M}^\perp\)는 부분벡터공간이므로 \[\lambda y_1 + \mu y_2 \in \mathcal{M}\] 그리고 \[\lambda z_1 + \mu z_2 \in \mathcal{M}^\perp\] 이다. 따라서 직교분해의 유일성에 의해 \(\lambda x_1 + \mu x_2\)의 직교분해는 \[(\lambda y_1 + \mu y_2) + (\lambda z_1 + \mu z_2)\] 이다. 그러므로 \[P_\mathcal{M} (\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda y_1 + \mu y_2 = \lambda P_\mathcal{M} x_1 + \mu P_\mathcal{M} x_2\] 이며, \(P_\mathcal{M}\)은 선형변환이다.
   다음으로 \(P_\mathcal{M}\)이 연속인 자기수반연산자임을 보이자. \[\lVert P_\mathcal{M} x \rVert^2 = \lVert y \rVert^2 \leq \lVert x \rVert^2\] 이므로 \(P_\mathcal{M}\)은 유계이고 \(\lVert P_\mathcal{M} \rVert \leq 1\)이다. 또한, \(z_2 \in \mathcal{M}^\perp\)이고 \(y_1 \in \mathcal{M}\)이므로 \[\langle P_\mathcal{M} x_1,\,x_2 \rangle = \langle y_1,\,y_2 + z_2 \rangle = \langle y_1,\,y_2 \rangle\] 이다. 그리고, \(z_1 \in \mathcal{M}^\perp\)이고 \(y_2 \in \mathcal{M}\)이므로 \[\langle x_1,\,P_\mathcal{M} x_2 \rangle = \langle y_1 + z_1,\,y_2 \rangle = \langle y_1,\,y_2 \rangle\] 이다. 따라서 \[\langle P_\mathcal{M} x_1,\,x_2 \rangle = \langle x_1,\,P_\mathcal{M} x_2 \rangle\] 이므로 \(P_\mathcal{M}\)은 자기수반연산자이다.
   마지막으로 \(P_\mathcal{M}\)이 치역 \(\mathcal{M}\)과 핵 \(\mathcal{M}^\perp\)를 가지는 직교사영임을 밝히자. \(w \in \mathcal{M}\)이면, \(w\)의 직교분해는 \(w = w + 0\)이므로 \(P_\mathcal{M} w = w\)이다. 따라서 \(\mathcal{M} \subseteq \operatorname{Im} P_\mathcal{M}\)이다. 한편 \(P_\mathcal{M}\)의 정의에 의해 \(\operatorname{Im} P_\mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}\)이다. 그러므로 \(\operatorname{Im} P_\mathcal{M} = \mathcal{M}\)이다. 또한, 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 \[(P_\mathcal{M})^2(x) = P_\mathcal{M} (P_\mathcal{M} x) = P_\mathcal{M} y = y = P_\mathcal{M} (x)\] 이므로 \((P_\mathcal{M})^2 = P_\mathcal{M}\)이다. 따라서 \(P_\mathcal{M}\)은 직교사영이다. 또한 \[\operatorname{ker} P_\mathcal{M} = (\operatorname{Im} P_\mathcal{M} ^*)^\perp = (\operatorname{Im} P_\mathcal{M} )^\perp = \mathcal{M}^\perp\] 이다.
2. \(L = \operatorname{Im} Q\)라고 하자. \(Q\)가 선형변환이므로, \(L\)은 부분벡터공간이다. \(L\)이 닫혀 있음을 보이기 위해 \(L\)에서 \(y \in \mathcal{H}\)로 수렴하는 수열 \(\{y_n\}\)이 주어졌다고 하자. \(y_n \in \operatorname{Im} Q\)이므로 각 \(n \in \mathbb{N}\)에 대하여 \(y_n = Q(x_n)\)인 \(x_n \in \mathcal{H}\)가 존재한다. 따라서 \[ \begin{aligned} y &= \lim_{n\to\infty} Qx_n \\[6pt] &= \lim_{n\to\infty} Q^2 x_n \quad (\because \,\, Q^2 = Q) \\[6pt] &= Q\left(\lim_{n\to\infty} Qx_n\right) \quad (\because \,\, Q \text{ is continuous .}) \\[6pt] &= Qy \in \operatorname{Im} Q \end{aligned} \] 이다. 즉 \(L\)은 닫혀 있다.
   \(v \in L\)이면 \(v = Qx\)를 만족하는 적당한 \(x \in \mathcal{H}\)가 존재하므로 \[Qv = Q^2 x = Qx = v\]가 되어 \(Q^2 = Q\)이다. \(w \in L^\perp\)이면 \(Q\)가 자기수반연산자이고 \(Q^2 w \in L\)이므로 \[\lVert Qw \rVert^2 = \langle Qw,\,Qw \rangle = \langle w,\,Q^2 w \rangle = 0\] 이다. 따라서 \(Qw = 0\)이다. 그러므로 \(x \in \mathcal{H}\)이고 \(x = v + w\)가 \(v \in L\)이고 \(w \in L^\perp\)인 직교분해라면, \(x = Qv + w\)이므로 \[P_L x = Qv = Qx\] 이다. 왜냐하면 \(Qw = 0\)이기 때문이다. 따라서 \(Q = P_{\operatorname{Im} Q}\)이다.

증명

\(I\)와 \(P\)가 자기수반연산자이므로 \(I - P\)도 자기수반연산자이다. 또한, \(P^2 = P\)이므로 \[(I - P)^2 = I - 2P + P^2 = I - 2P + P = I - P\] 이며, \(I - P\)는 직교사영이다. \(x \in \mathcal{H}\)이고 \(x = y + z\)가 직교분해이며, \(y \in \mathcal{M}\)이고 \(z \in \mathcal{M}^\perp\)일 때, \(P(x) = y\)이므로 \[(I - P)(x) = x - y = z\]이다. 따라서 정리 7에 의해 \(I - P\)는 \(\mathcal{H}\)를 \(\mathcal{M}^\perp\) 위로 사영하는 직교사영이다.

풀이

\(B\)가 \[B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]인 행렬이고, \(B^2 = A\)를 만족시킨다고 가정하자. 그러면 행렬의 성분을 비교하여 다음을 얻는다. \[\begin{gathered} a^2 + bc = 0, \\[6pt] b(a + d) = 1, \\[6pt] c(a + d) = 0, \\[6pt] d^2 + bc = 0 . \end{gathered}\] \(b(a + d) = 1\)이고 \(c(a + d) = 0\)이므로 \(c = 0\)임을 알 수 있다. 그러면 \(a^2 = d^2 = 0\)이므로, \(a = d = 0\)인데 이는 \(b(a + d) = 1\)과 모순이다. 따라서 그러한 행렬 \(B\)는 존재하지 않는다.

증명

\(P\)를 모든 다항식으로 구성된 \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)의 부분벡터공간이라고 하자. \(\phi: P \to S\)를 \(\phi(p) = p(S)\)로 정의하자. 그러면 임의의 \(p\in P\)에 대하여 \(\phi(pq) = \phi(p)\phi(q)\)가 성립하며, \(p\)는 선형변환이다. 또한 \[ \begin{aligned} \lVert \phi(p) \rVert &= \lVert p(S) \rVert \\[6pt] &= r_\sigma(p(S)) \quad (\because \,\, p(S) \text{ is self-adjoint.}) \\[6pt] &= \sup\{|\mu| \,\vert\, \mu \in \sigma(p(S))\} \\[6pt] &= \sup\{|p(\lambda)| \,\vert\, \lambda \in \sigma(S)\} \\[6pt] &= \lVert p \rVert \end{aligned} \] 이다. 따라서 \(\phi\)는 등거리변환이다. \(S\)는 실바나흐 공간이고 \(P\)는 \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)에서 조밀하므로, \(\Phi(p) = \phi(p)\)인 \(\Phi \in B(C_\mathbb{R}(\sigma(S)), \mathcal{S})\)가 존재한다. 더욱이 임의의 \(p\in P\)에 대하여 \(\phi(pq) = \phi(p)\phi(q)\)가 성립하므로, \(P\)가 \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)에서 조밀하다는 사실과 \(\Phi\)의 연속성에 의하여, 임의의 \(f, g \in C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)에 대하여 \(\Phi(fg) = \Phi(f)\Phi(g)\)가 성립한다.

증명

1. \(P\)를 \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)의 모든 다항식으로 이루어진 부분벡터공간이라고 하자. \(S\)가 양연산자이므로, \(\sigma(S) \subseteq [0,\, \infty)\)이다. 따라서 \(f: \sigma(S) \to \mathbb{R}\)과 \(g: \sigma(S) \to \mathbb{R}\) 그리고 \(j: \sigma(S) \to \mathbb{R}\)을 다음과 같이 정의하자. \[f(x) = x^{1/4},\,\, g(x) = x^{1/2},\,\, j(x) = x .\] 이 함수들은 모두 \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)에 속한다. \(R = g(S)\)이고 \(T = f(S)\)라고 하면 \(R\)과 \(T\)는 자기수반연산자이다. \(P\)는 \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)에서 조밀하다. 특히 \(g\)는 다항식의 수열의 극한이므로, \(R\)은 \(S\)의 다항식 수열의 극한이다. 또한 보조정리 13에 의해 \[R^2 = (g(S))^2 = g^2(S) = j(S) = S\] 이므로 \(R\)은 \(S\)의 제곱근이고 \[T^2 = (f(S))^2 = f^2(S) = g(S) = R\] 이므로 \(R\)은 양연산자이다.
2. \(Q\)가 양연산자이므로, (a)에 의해 \(Q\)는 양연산자 제곱근 \(P\)를 가진다. \(x \in \mathcal{H}\)이고 \(y = (R - Q)x\)라고 하자. \(R^2 = Q^2 = S\)이므로 \[ \begin{aligned} \lVert T y \rVert^2 + \lVert P y \rVert^2 &= \langle T^2y,\,y \rangle + \langle P^2y,\,y \rangle \\[6pt] &= \langle (R + Q)y,\,y \rangle \\[6pt] &= \langle (R + Q)(R - Q)x,\,y \rangle \\[6pt] &= \langle (R^2 - Q^2)x,\,y \rangle \\[6pt] &= 0 \end{aligned} \] 이다. 따라서 \(Ty = Py = 0\)이고 그래서 \(T^2y = P^2y = 0\)이다. 그러므로 \(Ry = Qy = 0\)이고 \[\lVert (R - Q)x \rVert^2 = \langle (R - Q)^2x,\,x \rangle = \langle (R - Q)y,\,x \rangle = 0\] 이다. 따라서 \(R = Q\)이다.

증명

\(T\)가 가역이므로 \(T^*\)와 \(T^*T\)도 가역이다. 이제, \(T^*T\)는 보기 3에 의해 양연산자이므로 정리 14에 의해 \(T^*T\)는 양연산자 제곱근 \(R = (T^*T)^{1/2}\)을 가진다. \(T^*T\)가 가역이므로 \(R\)도 가역이다. \(U = TR^{-1}\)라고 하자. 그러면 \(U\)는 가역이고, \(U\)의 치역은 \(\mathcal{H}\)이다. 또한 \[U^*U = (R^{-1})^*T^*TR^{-1} = R^{-1}R^2R^{-1} = I\] 이므로 \(U\)는 유니타리 연산자이다.