부분공간의 뜻
벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\)가 단순히 “집합의 부분”이라는 이유만으로 자동으로 벡터공간이 되는 것은 아니다. \(W\)가 실제로 부분공간(subspace)이 되려면, \(V\) 위에서 정의된 연산(덧셈과 스칼라배)이 제한(restriction)되었을 때에도 여전히 모든 벡터공간 공리를 만족해야 한다. 이를 보다 간단히 표현하면, 부분공간이 되기 위한 세 가지 핵심 조건을 확인하면 된다.
정의 1. (부분공간)
\(\mathbf{F}\)-벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\subseteq V\)가 부분공간이 된다는 것은, \(V\)에서 정의된 덧셈과 스칼라배 연산을 그대로 \(W\)에 제한했을 때, \(W\) 스스로도 \(\mathbf{F}\)-벡터공간의 공리를 만족한다는 의미이다. 이를 확인하기 위해서는 다음과 같은 조건들이 충족되어야 한다.
- \(\mathbf{0} \in W\). 즉, 영벡터(덧셈의 항등원)가 \(W\)에 속해야 한다.
- 덧셈에 대한 닫힘: 임의의 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\)에 대해 \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W\).
- 스칼라배에 대한 닫힘: 임의의 \(\mathbf{u} \in W\)와 \(\alpha \in \mathbf{F}\)에 대해 \(\alpha \mathbf{u} \in W\).
이 세 조건이 성립하면 \(W\)는 \(V\)의 부분공간이라고 부른다.
위 정의에서 영벡터가 반드시 \(W\)에 속해야 하는 이유는, 덧셈에 대한 항등원 없이 벡터공간 공리를 만족할 수 없기 때문이다. 또한 덧셈과 스칼라배에 대해 닫혀 있지 않으면, 그 연산을 수행하는 과정에서 \(W\)를 벗어나는 원소가 발생하여 더 이상 자체적인 벡터공간 구조를 이루지 못하게 된다.
이후 예시들을 통해 실제 벡터공간의 부분집합이 부분공간인지 아닌지를 판별하는 과정을 살펴보면, 보통 다음과 같은 절차를 따른다.
- \(W\)에 영벡터가 포함되는가?
- \(W\)에서 임의의 두 벡터를 골라 더했을 때, 결과가 여전히 \(W\)에 속하는가?
- \(W\)에서 임의의 벡터와 임의의 스칼라를 곱했을 때, 결과가 여전히 \(W\)에 속하는가?
만약 어느 한 조건이라도 충족되지 않으면, 그 집합은 부분공간이 아니라고 결론 내릴 수 있다. 반면 이 조건들이 모두 성립한다면, 자연스럽게 \(W\)는 \(V\) 내부에서 또 하나의 \(\mathbf{F}\)-벡터공간이 된다.
정리 1. (two-step test)
공집합이 아닌 \(W \subseteq V\)가 다음 두 조건을 만족하면 \(W\)는 부분공간이다. (이를 two-step test라고 한다.)
- 덧셈에 대한 닫힘: \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\)이면 \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W\).
- 스칼라배에 대한 닫힘: \(\mathbf{u} \in W\), \(\alpha \in \mathbf{F}\)이면 \(\alpha \mathbf{u} \in W\).
또한 \(W\)가 비어 있지 않다고 했으므로, 예를 들어 \(W\) 안의 임의의 원소를 \(\mathbf{u}\)라 할 때, 스칼라 \(\alpha = 0\)을 곱해 \(\alpha \mathbf{u} = \mathbf{0}\)을 얻으면, 영벡터가 \(W\)에 속함을 자연스럽게 알 수 있다.
정리 2. (one-step test)
공집합이 아닌 \(W \subseteq V\)가 다음 성질을 만족하면 \(W\)는 부분공간이다. (이를 one-step test라고 한다.)
임의의 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\)와 \(\alpha, \beta \in \mathbf{F}\)에 대해, \[ \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} \in W. \] 이 성질은 “덧셈에 대한 닫힘”과 “스칼라배에 대한 닫힘”을 하나로 묶어놓은 형태로 이해할 수 있다. 사실, \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\)나 \(\alpha \mathbf{u}\) 같은 간단한 경우는 \(\alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}\)에서 \(\alpha, \beta\) 값을 적절히 선택하여(예: \(\beta=0\) 등) 나타낼 수 있기 때문이다.
위의 판별법들은 서로 유사하지만, 부분집합이 실제로 부분공간인지 간단히 확인할 수 있는 기법을 제공한다. 어떤 방법을 쓰더라도, 최종적으로는 “영벡터가 존재하며 덧셈·스칼라배 연산에서 벗어나지 않는다”는 내용을 점검하게 된다.
보기 1.
벡터공간 \(\mathbb{R}^3\)에서 다음 부분집합들이 부분공간인지 판별해 보자.
- \(W_1 = \{ (x,y,z) \mid x + y + z = 0 \}\)
- \(W_2 = \{ (x,y,z) \mid x, y, z \ge 0 \}\)
해결 과정
\(W_1\) 판별 :
- 영벡터 \((0,0,0)\)는 식 \(0 + 0 + 0 = 0\)을 만족하므로 \(W_1 \)에 속한다.
- \((x_1,y_1,z_1)\)와 \((x_2,y_2,z_2)\)가 둘 다 \(W_1\)에 속한다고 하자. 즉 \(x_1+y_1+z_1=0\), \(x_2+y_2+z_2=0\). 그러면 이 둘을 더한 \((x_1+x_2,\,y_1+y_2,\,z_1+z_2)\) 또한 \[ (x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2) = (x_1+y_1+z_1) + (x_2+y_2+z_2) = 0 + 0 = 0 \] 이므로 여전히 \(W_1\)에 속한다.
- \(\alpha \in \mathbb{R}\)에 대해, \(\alpha(x_1,y_1,z_1) = (\alpha x_1, \alpha y_1, \alpha z_1)\)이 \[ \alpha x_1 + \alpha y_1 + \alpha z_1 = \alpha(x_1 + y_1 + z_1) = \alpha \cdot 0 = 0 \] 을 만족하므로 \(W_1\)에 속한다.
결과적으로 \(W_1\)은 부분공간의 3가지 조건(또는 two-step test)을 모두 만족하므로, 부분공간이다.
\(W_2\) 판별 :
- 영벡터는 \((0,0,0)\)로, 확실히 \(x,y,z\ge 0\)를 만족하므로 \(W_2\)에 속한다.
- 그러나 \((1,0,0)\)과 \((0,1,0)\)는 각각 \(W_2\)에 속하지만, 이 둘의 합은 \((1,1,0)\)으로 여전히 \(W_2\)에 속한다. 여기까진 문제가 없어 보인다.
- 하지만 \(\alpha = -1\)을 곱해보자. \((-1)\cdot (1,0,0) = (-1,0,0)\)이 되는데, 이는 \(x=-1<0\)이므로 \(W_2\)에 속하지 않는다. 스칼라배에 대한 닫힘이 깨진다.
결론적으로 \(W_2\)는 부분공간이 아니다.
위와 같이 간단한 예시를 통해 확인하듯, “\(\mathbf{u} \in W\)와 \(\alpha \in \mathbf{F}\)이면 \(\alpha \mathbf{u}\) 역시 \(W\)에 속하는가?”라는 조건은 부분공간 판별에서 매우 중요하다. 이를 만족하지 못하면, 그것이 아무리 다른 조건을 충족하더라도 결코 부분공간이 될 수 없다.
결론적으로, 부분집합이 부분공간인지 판별할 때는 다음 질문들을 염두에 두면 된다.
- 부분집합이 비어 있지 않으며, 영벡터를 포함하는가?
- 덧셈과 스칼라배를 적용했을 때 결과가 부분집합을 벗어나지 않는가?
- 더 효율적으로는, one-step test(또는 two-step test)를 적용해도 문제가 없나?
이러한 정리와 예시들을 통해, 우리는 복잡해 보이는 부분집합들도 체계적으로 분석하여 “벡터공간 구조”를 이어받을 수 있는지 빠르게 확인할 수 있다. 이후에는 부분공간에서의 기저, 차원 등의 개념이 전체 벡터공간과 어떻게 연관되는지 살펴보게 될 것이다.
부분공간의 예시와 성질
앞서 살펴본 “부분공간 3조건”이나 one-step, two-step test를 이용하면, 실제로 벡터공간 내부의 다양한 부분집합들이 부분공간을 이룰 수 있음을 확인할 수 있다. 단순한 예로는 영벡터만 포함하는 집합 \(\{\mathbf{0}\}\)과 전체 공간 \(V\) 자체가 부분공간이다. 그러나 이외에도 흥미로운 예시들이 많이 존재하며, 부분공간들끼리의 연산(예: 교집합, 합집합)에도 유용한 성질들이 몇 가지 있다.
보기 2. (부분공간의 대표적인 예시)
직선(line)이나 평면(plane) 등, 원점을 지나는 기하학적 부분집합
- \(\mathbb{R}^2\)에서 한 직선이 원점을 지나면(예: \(y = 2x\)), 해당 집합은 벡터공간의 덧셈과 스칼라배에 대해 닫혀 있으므로 부분공간이 된다.
- \(\mathbb{R}^3\)에서 원점을 지나는 평면(예: \(x + y + z = 0\)) 역시 부분공간이 된다. 이미 앞서 “\(x+y+z=0\)” 예시에서 확인한 바와 같다.
행렬공간 안의 특수한 집합
- 예를 들어, 모든 대각행렬(diagonal matrix)로 이루어진 집합은 덧셈과 스칼라배에 대한 닫힘성을 만족하므로 부분공간이다. (두 대각행렬을 더하면 여전히 대각행렬, 스칼라를 곱해도 마찬가지.)
- 상삼각행렬(upper triangular matrix), 대칭행렬(symmetric matrix) 등의 집합도 부분공간을 이룬다. 예: 상삼각행렬 \(A\)와 \(B\)를 더하면 여전히 상삼각행렬이고, 스칼라배 역시 상삼각성(性)을 해치지 않는다.
다항식공간의 부분공간
- \(P_n(\mathbf{F})\)에서 차수가 최대 \(k\) 이하인 모든 다항식을 모은 집합 \(P_k(\mathbf{F})\)는 부분공간이다. 예: 2차 이하 다항식 공간은 3차 이하 다항식 공간의 부분공간이다.
- “상수항이 0인 다항식”으로 이뤄진 집합, 예를 들어 \(\{\,p(x)\in P_n(\mathbf{F}) \mid p(0)=0 \}\)도 부분공간을 이룬다.
연립일차방정식의 해집합
- 동차방정식(homogeneous system)의 해집합은 항상 부분공간이다. 예를 들어, 행렬식을 통해 표현되는 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\)의 해공간(solution space)은 \(\mathbf{x}\)들에 대한 덧셈과 스칼라배에 대해 닫혀 있음을 쉽게 확인할 수 있다.
정리 3. (부분공간의 교집합)
\(V\)의 부분공간 \(W_1\)과 \(W_2\)가 주어졌을 때, \(W_1 \cap W_2\)는 항상 부분공간이 된다. 더 나아가, 유한 개의 부분공간 \(W_1, W_2, \dots, W_k\)의 교집합 \[ W_1 \cap W_2 \cap \cdots \cap W_k \] 역시 부분공간이다.
증명 스케치 \(W_1 \cap W_2\)에 속한다는 것은 \(\mathbf{u} \in V\)가 동시에 \(W_1\)에도 \(W_2\)에도 속한다는 의미이다. 그러므로 \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\), \(\alpha \mathbf{u}\) 등이 두 부분공간 각각에서 닫혀 있다면, 그 교집합에서도 닫혀 있음을 알 수 있다. 모든 항이 양쪽 부분공간에서 벡터공간 연산에 대해 닫혀 있으므로, 교집합 안에서도 문제없이 닫힘성이 유지된다.
예컨대, \(\mathbb{R}^3\)에서 원점을 지나는 한 평면 \(W_1\)과 다른 평면 \(W_2\)를 생각하면, 일반적으로 두 평면의 교집합은 원점을 지나는 직선이거나(만약 평면이 서로 다른 방향으로 기울어져 있으면), 평면이 완전히 동일한 경우(둘이 사실상 같은 부분공간)에는 교집합이 평면 자체가 된다. 어느 경우든 원점을 포함하고 덧셈, 스칼라배에 대해 닫혀 있다.
정리 4. (부분공간의 합)
\(V\)의 두 부분공간 \(W_1\)과 \(W_2\)가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 집합 \[ W_1 + W_2 = \{\mathbf{u} + \mathbf{v} \mid \mathbf{u} \in W_1,\; \mathbf{v} \in W_2 \} \] 은 \(V\)의 부분공간이 된다. 이를 부분공간의 합(subspace sum)이라고 부른다.
증명 스케치 \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W_1 + W_2\)라 할 때, \(\mathbf{x} = \mathbf{u}_1 + \mathbf{v}_1\), \(\mathbf{y} = \mathbf{u}_2 + \mathbf{v}_2\) (단, \(\mathbf{u}_i \in W_1\), \(\mathbf{v}_i \in W_2\)). 이때 스칼라 \(\alpha \in \mathbf{F}\)에 대해 \[ \mathbf{x} + \mathbf{y} = (\mathbf{u}_1 + \mathbf{v}_1) + (\mathbf{u}_2 + \mathbf{v}_2) = (\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2) + (\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2), \] \[ \alpha \mathbf{x} = \alpha(\mathbf{u}_1 + \mathbf{v}_1) = (\alpha \mathbf{u}_1) + (\alpha \mathbf{v}_1), \] 는 여전히 \(W_1\)과 \(W_2\) 각각에서 닫혀있으므로 \(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 \in W_1\)이고 \(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2\in W_2\) 등등을 통해 \(\mathbf{x}+\mathbf{y}, \alpha\mathbf{x}\)도 \(W_1 + W_2\)에 속한다. 따라서 \(W_1 + W_2\)가 부분공간임을 알 수 있다.
직관적으로, \(W_1 + W_2\)는 “두 부분공간에서 벡터를 하나씩 골라 더한 모든 결과”로 구성되므로, 이 역시 원점을 포함(두 벡터 모두 \(\mathbf{0}\)을 골라 더하면 \(\mathbf{0}\)이 나온다)하고 덧셈·스칼라배에 대해 닫혀 있다.
정리 5. (부분공간의 합집합)
부분공간 \(W_1\)과 \(W_2\)의 합집합(union) \(W_1 \cup W_2\)는 일반적으로 부분공간이 아니다. 단, 특별한 경우(예: \(W_1 \subseteq W_2\) 또는 \(W_2 \subseteq W_1\))에는 부분공간이 될 수 있다.
증명 스케치 두 부분공간이 서로 다른 방향(기하학적으로 “서로 다른 부분공간”을 형성)일 때, 각 부분공간에 속하는 벡터를 각각 하나씩 선택하여 더한 결과가 합집합에 포함되지 않을 수 있다. 즉, 덧셈 닫힘성이 위배된다. 예를 들어, \(\mathbb{R}^2\)에서 \(x\)-축과 \(y\)-축을 각각 부분공간으로 생각하면, 이 둘의 합집합은 원점을 제외하면 어떤 서로 다른 축 벡터 둘을 더해도 합집합에 속하지 않는다.
반면, \(W_1 \subseteq W_2\)라면 \(W_1 \cup W_2 = W_2\)가 되므로 부분공간이다.
보기 2. (부분공간에서의 연산 예시)
\(\mathbb{R}^3\)에서 두 부분공간을 가정해 보자.
- \(W_1\)은 \(xy\)-평면: \(\{(x,y,z) \mid z=0\}\)
- \(W_2\)는 \(xz\)-평면: \(\{(x,y,z) \mid y=0\}\)
둘 다 원점을 지나므로 각각 부분공간이다.
\(W_1 \cap W_2\)는 무엇일까?
- \(xy\)-평면에서는 \(z=0\), \(xz\)-평면에서는 \(y=0\). 두 조건을 동시에 만족하려면 \(y=0, z=0\)이므로 결과적으로 \(\{(x,0,0)\}\)와 같다. 즉, \(x\)-축을 형성하는 1차원 부분공간이다.
\(W_1 + W_2\)는?
- \(W_1\)에서 벡터를 하나, \(W_2\)에서 벡터를 하나 골라 더하면 \(\mathbb{R}^3\) 대부분의 점을 만들 수 있다. 사실 이 두 평면은 \(\{(x,y,0)\}\)와 \(\{(x,0,z)\}\) 형태이므로, 더한 결과 \((x_1, y_1, 0) + (x_2, 0, z_2) = (x_1 + x_2, y_1, z_2)\)는 모든 \((x,y,z)\)를 표현할 수 있다(단, 적절히 \(x_1 + x_2 = x\), \(y_1 = y\), \(z_2 = z\)로 잡으면 됨). 즉, \(W_1 + W_2 = \mathbb{R}^3\)이다.
\(W_1 \cup W_2\)는?
- \(xy\)-평면과 \(xz\)-평면의 합집합이므로, 예를 들어 \((1,0,0)\in W_2\)와 \((0,1,0)\in W_1\)는 각각 합집합에 속하지만, 이 둘의 합 \((1,1,0)\)은 여전히 \(xy\)-평면에 속하므로 사실 이 점은 포함되지만... 다음과 같은 경우를 보면 안다.
- \((0,1,0) \in W_1\)와 \((0,0,1) \in W_2\)를 더하면 \((0,1,1)\)인데, 이는 \(xy\)-평면에도 \(xz\)-평면에도 속하지 않으므로 \(W_1 \cup W_2\) 안에 없다. 결국 합집합은 덧셈 닫힘성을 갖지 못해 부분공간이 아니다.
이렇듯 부분공간 간의 연산에서는 교집합(\(\cap\))과 합(\(+\))은 부분공간성을 유지하지만, 합집합(\(\cup\))은 일반적으로 부분공간이 되지 않는다. 나아가 부분공간들은 그 자체로도 기저, 차원, 일차독립, 스팬 등 여러 핵심 개념을 갖추게 되며, 큰 벡터공간의 구조를 분석하는 토대를 이룬다.
