행렬의 덧셈과 스칼라배
행렬의 덧셈과 스칼라배는 선형대수학의 기초 연산으로, 행렬을 구성하는 각 성분에 대해 수행되는 연산이다. 이 연산들은 행렬의 구조를 그대로 유지하면서, 여러 행렬을 결합하는 역할을 한다. 특히, 이러한 연산들이 만족하는 성질들은 벡터공간의 공리와 유사하며, 이후 선형변환, 행렬 곱셈 등의 복잡한 연산을 이해하는 데 필수적이다.
두 행렬 \(A = (a_{ij})\)와 \(B = (b_{ij})\)가 모두 \(m \times n\) 크기를 가진다고 할 때, 행렬의 덧셈은 각 대응하는 성분의 합으로 정의된다. 또한 임의의 스칼라 \(c\)에 대해, 행렬의 스칼라배는 각 성분에 \(c\)를 곱한 결과로 정의된다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.
정의 1. (행렬의 덧셈과 스칼라배)
크기가 \(m\times n\)으로서 같은 두 행렬 \(A,\) \(B\)와 스칼라 \(c\)에 대하여 다음과 같이 정의한다. \[ (A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \quad (cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}, \] 여기서 \(i\)와 \(j\)는 \(1 \le i \le m\) 및 \(1 \le j \le n\)인 임의의 정수이다.
이러한 정의에 따라, 행렬의 덧셈과 스칼라배는 여러 가지 중요한 성질을 만족한다. 아래 정리는 이 성질들을 구체적으로 기술한다.
정리 1. (행렬 덧셈과 스칼라배의 성질)
\(m \times n\) 행렬 \(A, \,B, \,C\)와 스칼라 \(c, \,d \in \mathbb{F}\)에 대해 다음 성질들이 성립한다.
- 덧셈에 대한 교환법칙: \(A + B = B + A\).
- 덧셈에 대한 결합법칙: \((A + B) + C = A + (B + C)\).
- 영행렬의 존재: \(A + O = A\), 여기서 \(O\)는 모든 성분이 0인 \(m \times n\) 행렬이다.
- 덧셈에 대한 역원 존재: \(A + (-A) = O\), 즉 각 행렬 \(A\)에는 \(-A\)라는 덧셈에 대한 역원이 존재한다.
- 스칼라 배에 대한 분배법칙 (1): \(c(A + B) = cA + cB\).
- 스칼라 배에 대한 분배법칙 (2): \((c+d)A = cA + dA\).
- 스칼라배의 결합법칙: \(c(dA) = (cd)A\).
- 단위원소의 작용: \(1 \cdot A = A\).
증명 (몇 가지 주요 성질에 대하여)
1) 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙
행렬 \(A\)와 \(B\)의 각 성분에 대해, 실수의 덧셈은 교환법칙 \(a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}\)와 결합법칙을 만족한다. 따라서 행렬의 덧셈도 각 성분별로 이러한 성질을 그대로 물려받아 \(A+B = B+A\) 및 \((A+B)+C = A+(B+C)\)가 성립한다.
2) 영행렬과 역원의 존재
\(O\)를 모든 성분이 0인 행렬로 정의하면, 각 \(i,j\)에 대해 \(a_{ij} + 0 = a_{ij}\)가 성립하므로 \(A+O=A\)이다. 또한, 각 성분 \(a_{ij}\)의 덧셈에 대한 역원인 \(-a_{ij}\)를 모은 행렬 \(-A\)에 대해, \(a_{ij} + (-a_{ij}) = 0\)이 되어 \(A+(-A)=O\)임을 확인할 수 있다.
3) 스칼라배에 대한 분배법칙
각 \(i,j\)에 대해,
\[
c(a_{ij}+b_{ij}) = ca_{ij} + cb_{ij},
\]
이므로, \(c(A+B) = cA + cB\)가 성립한다. 마찬가지로,
\[
(c+d)a_{ij} = ca_{ij} + da_{ij},
\]
에서 \((c+d)A = cA + dA\)를 얻으며, \(c(dA) = (cd)A\) 및 \(1\cdot A = A\) 역시 각 성분에 대해 자명하게 성립한다.
행렬의 각 성분에 적용되는 기본적인 실수의 성질들이 행렬 전체에 확장된다는 사실을 염두에 두면, 위 정리의 다른 항목도 같은 방법으로 증명된다.
보기 1.
두 2×2 행렬 \(A\)와 \(B\)를 다음과 같이 정의하자.
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
이때, 행렬의 덧셈은 각 성분을 더하여
\[ A+B = \begin{pmatrix} 1+5 & 4+(-1) \\ 2+0 & 3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}. \]
또한, 스칼라 \(c=3\)에 대한 스칼라배는
\[ 3A = \begin{pmatrix} 3\cdot 1 & 3\cdot 4 \\ 3\cdot 2 & 3\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}. \]
보기 2.
위의 성질들을 실제 계산에 적용하면, 임의의 2×2 행렬에 대해 덧셈과 스칼라배가 다음과 같이 작용함을 확인할 수 있다.
예를 들어, \(A + B = B + A\)임을 직접 계산해 보면,
\[ A+B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = B+A, \]
그리고 \(2(A+B) = 2A+2B\) 역시 성립함을 확인할 수 있다.
이와 같이 행렬의 덧셈과 스칼라배는 기본적인 성분별 연산을 통해 정의되며, 이 연산들이 만족시키는 성질들은 선형대수학의 보다 복잡한 연산과 이론의 기초를 형성한다.
행렬 곱셈의 정의와 연산 규칙
행렬 곱셈은 두 행렬을 곱하여 새로운 행렬을 생성하는 연산으로, 선형대수학에서 선형변환의 합성과 깊은 관련이 있다. 만약 \(A\)가 \(m \times n\) 행렬이고, \(B\)가 \(n \times p\) 행렬이라면, 두 행렬의 곱 \(AB\)는 \(m \times p\) 행렬로 정의된다. 이 연산은 단순히 대응하는 성분을 곱하는 것이 아니라, \(A\)의 각 행과 \(B\)의 각 열 사이의 내적(dot product)을 통해 계산된다.
정의 2. (행렬 곱셈)
\(A = (a_{ij})\)를 \(m \times n\) 행렬, \(B = (b_{ij})\)를 \(n \times p\) 행렬이라 하자. 그러면 행렬 \(AB\)는 \(m \times p\) 행렬로, 그 \(ij\)번째 성분은
\[ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj} \]
로 정의된다. 여기서 \(1 \le i \le m\) 및 \(1 \le j \le p\)이다.
이 정의에 따르면, 행렬 곱셈은 \(A\)의 각 행과 \(B\)의 각 열 사이의 내적을 통해 새로운 행렬의 성분을 결정하는 연산임을 알 수 있다. 이 과정은 선형변환의 합성을 행렬 곱셈으로 표현하는 기본 원리와도 일치한다.
정리 2. (행렬 곱셈의 주요 성질)
\(A\), \(B\), \(C\)가 행렬 곱셈이 정의되는 적절한 크기의 행렬이고, \(c\)와 \(d\)가 임의의 스칼라일 때, 다음 성질들이 성립한다.
- 결합법칙: \((AB)C = A(BC)\).
- 좌측 분배법칙: \(A(B+C) = AB + AC\).
- 우측 분배법칙: \((A+B)C = AC + BC\).
- 스칼라 배와의 결합: \(c(AB) = (cA)B = A(cB)\).
- 항등원의 작용: \(AI = IA = A\) (여기서 \(I\)는 적절한 크기의 항등행렬이다).
- 교환법칙의 부재: 일반적으로 \(AB \neq BA\)이다.
이 성질들은 행렬 곱셈이 각 행렬의 성분들에 대해 내적을 통해 정의되며, 내적의 결합법칙 및 분배법칙 등 기본적인 수 체계의 성질을 그대로 확장한 결과임을 알 수 있다.
증명
1) 결합법칙
\(A\)가 \(m \times n\) 행렬, \(B\)가 \(n \times p\) 행렬, \(C\)가 \(p \times q\) 행렬일 때, \( (AB)C \)와 \( A(BC) \)의 \(ij\)번째 성분을 비교하면,
\[ ((AB)C)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} (AB)_{ik} \, c_{kj} = \sum_{k=1}^{p} \left(\sum_{\ell=1}^{n} a_{i\ell} \, b_{\ell k}\right) c_{kj}, \]
그리고
\[ (A(BC))_{ij} = \sum_{\ell=1}^{n} a_{i\ell} \, (BC)_{\ell j} = \sum_{\ell=1}^{n} a_{i\ell} \left(\sum_{k=1}^{p} b_{\ell k} \, c_{kj}\right). \]
두 식 모두, 덧셈의 결합법칙과 교환법칙에 의해 동일하게 정리되므로, \((AB)C = A(BC)\)가 성립한다.
2) 분배법칙
좌측 분배법칙의 경우, \(A(B+C)\)의 \(ij\)-성분은
\[ (A(B+C))_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, (b_{kj} + c_{kj}) = \sum_{k=1}^{n} \bigl(a_{ik} \, b_{kj}\bigr) + \sum_{k=1}^{n} \bigl(a_{ik} \, c_{kj}\bigr), \]
즉, \(A(B+C) = AB + AC\)가 된다. 우측 분배법칙 역시 동일한 원리로 증명된다.
3) 스칼라배와의 결합
각 성분에 대해,
\[
(c(AB))_{ij} = c \cdot (AB)_{ij} = c \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj},
\]
\[ ((cA)B)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} (c\,a_{ik}) \, b_{kj} = c \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}, \]
따라서 \(c(AB) = (cA)B\)가 성립하며, \(A(cB)\)에 대해서도 같은 과정을 통해 증명할 수 있다.
예를 들어, 행렬 곱셈의 결합법칙 덕분에 여러 개의 행렬을 곱할 때 괄호의 위치에 상관없이 동일한 결과를 얻을 수 있다. 반면, 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않으므로, 두 행렬의 곱의 순서가 결과에 영향을 미친다는 점은 주의해야 한다.
보기 3.
두 행렬 \(A\)와 \(B\)가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad (2 \times 3 \text{ 행렬}), \]
\[ B = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} \quad (3 \times 2 \text{ 행렬}). \]
\(AB\)는 \(2 \times 2\) 행렬이며, 각 성분은 아래와 같이 계산된다.
\[ (AB)_{11} = 1\cdot7 + 2\cdot9 + 3\cdot11 = 7 + 18 + 33 = 58, \]
\[ (AB)_{12} = 1\cdot8 + 2\cdot10 + 3\cdot12 = 8 + 20 + 36 = 64, \]
\[ (AB)_{21} = 4\cdot7 + 5\cdot9 + 6\cdot11 = 28 + 45 + 66 = 139, \]
\[ (AB)_{22} = 4\cdot8 + 5\cdot10 + 6\cdot12 = 32 + 50 + 72 = 154. \]
따라서,
\[ AB = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix}. \]
보기 4.
행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않음을 보여주는 좋은 예이다. 위 예제에서 \(AB\)와 \(BA\)를 계산할 경우, 두 결과가 다름을 확인할 수 있다. (단, \(A\)와 \(B\)의 크기가 다르므로 \(BA\)가 정의되지 않는 경우도 있다.)
이와 같이 행렬 곱셈의 정의와 연산 규칙은, 단순한 수치 연산을 넘어 선형변환의 합성과 밀접한 관계를 가지며, 복잡한 문제를 보다 간결하게 다룰 수 있는 강력한 도구를 제공한다.
보기 5.
세 행렬 \(A\), \(B\), \(C\)가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}. \]
결합법칙 \((AB)C = A(BC)\)를 직접 확인하기 위해, 양쪽의 곱셈을 진행하면 각 단계에서 내적의 결합법칙이 적용되어 동일한 결과를 얻게 됨을 알 수 있다. (자세한 수치는 생략하였으나, 직접 계산해 보면 양쪽 결과가 일치함을 확인할 수 있다.)
이처럼 분배법칙, 결합법칙, 그리고 스칼라배와의 결합 성질은 행렬 곱셈을 단순한 수치 연산의 확장이 아닌, 선형변환의 합성과 관련된 강력한 도구로 만들어 주며, 복잡한 행렬 연산의 체계적인 이해에 기여한다.
연립일차방정식과 행렬의 관계
행렬의 덧셈과 스칼라배는 단순히 수치 연산의 도구를 넘어서, 선형연립방정식 해석의 근본적인 구조를 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다. 특히, 동차연립일차방정식의 해 집합이 벡터공간을 이루게 되는 이유는, 그 집합이 행렬의 덧셈과 스칼라배에 대해 닫혀 있기 때문이다.
예를 들어, 동차연립일차방정식
\[ A\mathbf{x} = \mathbf{0} \]
의 해 집합을 생각해 보자. 여기서 \(A\)는 \(m\times n\) 행렬이고 \(\mathbf{x}\)는 \(n\times 1\) 행렬로 표현되는 \(n\)개의 미지수이며, \(\mathbf{0}\)은 \(m\times 1\) 영행렬이다. 만약 \(\mathbf{x}_1\)과 \(\mathbf{x}_2\)가 이 방정식의 해라면, 행렬 연산의 선형성에 의해
\[ A(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2) = A\mathbf{x}_1 + A\mathbf{x}_2 = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}, \]
즉, \(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2\) 역시 해가 된다. 또한 임의의 스칼라 \(c\)에 대해
\[ A(c\mathbf{x}_1) = c\,A\mathbf{x}_1 = c\cdot\mathbf{0} = \mathbf{0}, \]
따라서 \(c\mathbf{x}_1\)도 해가 된다. 이러한 성질은 동차해 집합이 행렬의 덧셈과 스칼라배에 대해 닫혀 있음을 보여주며, 결국 벡터공간의 공리를 만족하게 만든다.
비동차연립방정식 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)의 경우에도, 한 특수해 \(\mathbf{x}_p\)가 존재한다면, 앞서 증명한 바와 같이 모든 해는
\[ \mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h, \]
의 형태로 표현된다. 여기서 \(\mathbf{x}_h\)는 동차방정식 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\)의 해이다. 즉, 비동차해 집합은 한 특수해와 동차해 집합의 평행이동으로 구성된다. 이 역시 행렬의 덧셈과 스칼라배의 법칙에 기반한 결과이다.
따라서, 행렬 연산의 기본 성질들은 연립방정식의 해 집합을 분석할 때, 해의 존재 여부와 구조(예: 유일해 혹은 무수히 많은 해)를 결정하는 데 직접적인 역할을 한다. 이러한 연산을 통해 얻어진 벡터 공간의 성질은, 다양한 해석 기법(예: 가우스 소거법, 기저 및 차원 분석 등)을 가능하게 하며, 선형연립방정식 해법의 기초를 형성한다.
