2024년 11월 14일에 실시한 대학수학능력시험 수학 공통과목 단답형 문항(16번-22번) 풀이입니다. 문제의 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 풀이의 저작권은 이 블로그 주인에게 있습니다. (이메일: tomie＠ly4i.com)
풀이에 틀린 부분이 있을 수 있어요ㅜㅜ 읽을 때 조심! 또 조심!
문제 16. 방정식 \[\log_2 (x-3) = \log_4 (3x-5)\] 를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
로그의 밑을 통일하여 풀면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \log_2 (x-3) &= \log_4 (3x-5) , \\[6pt] \log_2 (x-3) &= \frac{\log_2 (3x-5)}{\log_2 4} , \\[6pt] \log_2 (x-3)^2 &= \log_2 (3x-5) , \\[6pt] (x-3)^2 &= 3x-5 , \\[6pt] x^2 -9x +14 &=0 , \\[6pt] (x-2)(x-7) &= 0 . \end{aligned}\] 그런데 \(x > 3\)이므로, 문제의 방정식의 해는 \(x = 7\)이다.
문제 17. 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f ' (x) = 9x^2 + 4x\)이고 \(f(1) = 6\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
\(f(x) = 3x^3 +2x^2 + k\)라고 하자. (\(k\)는 상수.) 그러면 \[f(1) = 3+2+k = 6\] 이므로 \(k=1\)이다. 따라서 구하는 값은 다음과 같다. \[f(2) = 24+8+1 = 33.\]
문제 18. 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[a_n + a_{n+4} = 12\] 를 만족시킬 때, \[\sum_{n=1}^{16} a_n\] 의 값을 구하시오. [3점]
풀이
\(A_n = a_n + a_{n+4}\)라고 하자. 그러면 구하는 합은 다음과 같다. \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{16} a_n &= A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_9 + A_{10} + A_{11}+ A_{12} \\[6pt] &= 8\times 12 = 96. \end{aligned}\]
문제 19. 양수 \(a\)에 대하여, 함수 \(f(x)\)를 \[f(x) = 2x^3 - 3ax^2 - 12a^2 x\] 라 하자. 함수 \(f(x)\)의 극댓값이 \(\frac{7}{27}\)일 때, \(f(3)\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
함수 \(f\)의 도함수는 다음과 같다. \[f ' (x) = 6x^2 - 6ax - 12a^2 .\] \(f(x)\)가 극값을 갖는 점을 찾기 위해 방정식 \(f ' (x)=0\)의 근을 구하자. \[\begin{gathered} 6(x^2 -ax-2a^2 ) =0 , \\[6pt] (x-2a)(x+a) =0 , \\[6pt] x = 2a \quad \text{or}\quad x=-a. \end{gathered}\] 그런데 \(a\)가 양수이고 \(f(x)\)가 삼차함수이므로, \(f(x)\)는 \(x=2a\)에서 극솟값을 가지며 \(x=-a\)에서 극댓값을 가진다. 즉 \(f(-a) = \frac{7}{27}\)이다. \[f(-a) = -2a^3 - 3a^3 + 12a^3 = \frac{7}{27}\] 이며, 이 식을 \(a\)에 대하여 풀면 \(a = \frac{1}{3}\)이다. 따라서 \[f(x) = 2x^3 - x^2 - \frac{4}{3} x\] 이며 \[f(3) = 54 - 9 -4 = 41\] 이다.
문제 20. 곡선 \[y = \left( \frac{1}{5} \right) ^{x-3}\] 과 직선 \(y=x\)가 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(k\)라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
“\(x > k\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = \left( \frac{1}{5} \right)^{x-3}\)이고 \(f(f(x)) = 3x\)이다.”
이때 \[f \left( \frac{1}{k^3 \times 5^{3k}}\right)\] 의 값을 구하시오. [4점]
풀이
\(y=f(x)\)라고 하면 \(x > k\)일 때 \(y < k\)이다.
\( x > k\)일 때 \(f(f(x)) = 3x\)이므로 \[f\left( \left( \frac{1}{5}\right)^{x-3} \right) = 3x\] 이다. 양변에 \(f^{-1}\)를 취하고 좌변과 우변을 바꾸어 계산하면 \[\begin{aligned} f^{-1} (3x) &= \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3} ,\\[6pt] f^{-1}(y) &= \left( \frac{1}{5} \right)^{\frac{y}{3} -3} \end{aligned}\] 이다. 마지막 등식에서 \(x = f^{-1} (y)\)라고 하면 \[\log_5 x = 3 - \frac{y}{3}\] 이므로 \(x \le k\)일 때 \[y = 9 - 3\log_5 x\] 즉 \[f(x) = 9 - 3\log_5 x\] 이다. \(k > 1\)이므로 \[\begin{aligned} f\left( \frac{1}{k^3 \times 5^{3k}}\right) &= 9 - 3 \log_5 \left( \frac{1}{k^3 \times 5^{3k}} \right )\\[6pt] &= 9 - 3 \left( -3 \log_5 k - 3k \right ) \\[6pt] &= 9-3 \left\{ -3 \log_5 k - 3 \left( 3 - \log_5 k \right) \right\} \\[6pt] &= 9 + 9 \log_5 k + 27 - 9 \log_5 k \\[6pt] &= 36 \end{aligned}\] 이다.
문제 21. 함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4\)가 조건
“모든 실수 \(\alpha\)에 대하여 \(\lim_{x\rightarrow\alpha} \frac{f(2x+1)}{f(x)}\)의 값이 존재한다”
를 만족시키도록 하는 두 정수 \(a,\) \(b\)에 대하여, \(f(1)\)의 최댓값을 구하시오. [4점]
풀이
분수 \[\frac{f(2x+1)}{f(x)}\] 가 모든 실수 \(\alpha\)에서 극한이 수렴하려면 분모가 \(0\)에 수렴하지 않거나, 분모가 \(0\)에 수렴하는 \(\alpha\)에 대해서는 반드시 분자도 \(0\)에 수렴해야 한다. 즉 \(f(x)=0\)의 근이 모두 \(f(2x+1)=0\)의 근이 되어야 한다.
그런데 \(f(x)=0\)과 \(f(2x+1)=0\)이 모두 삼차방정식이고, 두 방정식의 근의 개수는 동일하다. \(f(x)=0\)의 서로 다른 근의 개수가 \(2\)개 이상이라면 \(f(x)=0\)의 근이 \(f(2x+1)=0\)의 근과 일치할 수 없다. 그러므로 \(f(x)=0\)의 근은 단 하나만 존재해야 하며, 이때 \(f(x)=0\)을 만족시키는 값 \(x=\alpha\)은 \(f(2x+1)=0\)을 만족시켜야 하고, \(f(x)=0\)의 근이 하나라는 사실을 생각하면, \(x=\alpha\)는 \(2x+1 = x\)도 만족시켜야 한다. 즉 \[2\alpha + 1 = \alpha\] 가 성립한다. 이 방정식을 풀면 \(\alpha = - 1\)이다. 즉 방정식 \(f(x)=0\)은 오직 하나의 근 \(x=-1\)을 가진다. \[f(-1) = -1+a-b+4 =0\] 이므로 \(b=a+3\)이며, \[\begin{aligned} f(x) &= x^3 + ax^2 + (a+3)x +4 \\[6pt] &= (x+1)(x^2 + (a-1)x +4) \end{aligned}\] 이다. \(f(x)=0\)의 근이 하나만 존재하려면 임의의 \(x\)에 대하여 \[x^2 +(a-1)x+4 \ne 0\] 이어야 하므로, 좌변에 있는 이차식의 판별식이 음수어야 한다. 즉 \[(a-1)^2 - 16 < 0\] 이며, 이 부등식을 풀면 \[-3 < a < 5\] 이다. 이 부등식을 만족시키는 정수 \(a\)의 최댓값은 \(a=4\)이다. 그러므로 \(f(1)\)의 최댓값은 \[f(1) = 2a+8 = 16\] 이다.
문제 22. 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 정수이고 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.
- 모든 자연수 \(n\)에 대하여, \(\left\lvert a_n \right\rvert\)이 홀수인 경우 \[a_{n+1} = a_n - 3\] 이고, \(n=0\) 또는 \(\left\lvert a_n \right\rvert\)이 짝수인 경우 \[a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n\] 이다.
- \(\left\lvert a_m \right\rvert = \left\lvert a_{m+2} \right\rvert\)인 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(3\)이다.
이러한 모든 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)에 대하여 \(\left\lvert a_1 \right\rvert\)의 값의 합을 구하시오. [4점]
풀이
문제에서 주어진 수열의 정의를 보면 \(a_1\)의 값이 무엇이든 결국 \(\left\{ a_n \right\}\)의 값은 \(n\)이 증가함에 따라 절댓값이 \(3\) 이하인 항을 포함하는 순환고리로 회귀함을 알 수 있다. 그러므로 \(a_1\)의 절댓값이 \(3\) 이하인 경우 수열 \(\left\{a_n \right\}\)의 처음 몇 개의 항이 어떠한 양상을 보이는지 살펴보자.
\(0 \,\,\rightarrow\,\, 0 \,\,\rightarrow\,\, 0 \,\,\rightarrow\,\, 0 \,\,\rightarrow\,\, \cdots ,\)
\(1 \,\,\rightarrow\,\, -2 \,\,\rightarrow\,\, -1 \,\,\rightarrow\,\, -4 \,\,\rightarrow\,\, -2 \,\,\rightarrow\,\, -1 \,\,\rightarrow\,\, \cdots ,\)
\(2 \,\,\rightarrow\,\, 1 \,\,\rightarrow\,\, -2 \,\,\rightarrow\,\, -1 \,\,\rightarrow\,\, -4 \,\,\rightarrow\,\, -2 \,\,\rightarrow\,\, \cdots ,\)
\(3 \,\,\rightarrow\,\, 0 \,\,\rightarrow\,\, 0 \,\,\rightarrow\,\, 0 \,\,\rightarrow\,\, \cdots ,\)
\(-1 \,\,\rightarrow\,\, -4 \,\,\rightarrow\,\, -2 \,\,\rightarrow\,\, -1 \,\,\rightarrow\,\, \cdots ,\)
\(-2 \,\,\rightarrow\,\, -1 \,\,\rightarrow\,\, -4 \,\,\rightarrow\,\, -2 \,\,\rightarrow\,\, \cdots ,\)
\(-3 \,\,\rightarrow\,\, -6 \,\,\rightarrow\,\, -3 \,\,\rightarrow\,\, -6 \,\,\rightarrow\,\, \cdots .\)
위 경우를 관찰하면 \(a_m = a_{m+2}\)가 성립하는 경우는 \(a_m\)의 값이 \(0,\) \(-3,\) \(-6\)인 경우 뿐이며, \(a_m = -a_{m+2}\)가 성립하는 경우는 \(a_m\)의 값이 \(1,\) \(2\)인 경우 뿐이다.
그러므로 \(a_3\)의 값이 \(0,\) \(-3,\) \(-6,\) \(1,\) \(2\)가 되도록 하는 \(a_1\)의 값을 모두 찾으면 된다.
- \(a_3 = 0\)인 경우. \(a_2 = 3\) 또는 \(a_2 = 0\)이다. \(a_1 = 6\) 또는 \(a_1 = 0\)이다.
- \(a_3 = -3\)인 경우. \(a_2 = -6\)이다. \(a_1 = -12\) 또는 \(a_1 = -3\)이다.
- \(a_3 = -6\)인 경우. \(a_2 = -3\) 또는 \(a_2 = -12\)이다. \(a_1 = -6\) 또는 \(a_1 = -9\) 또는 \(a_1 = -24\)이다.
- \(a_3 = 1\)인 경우. \(a_2 = 2\)이다. \(a_1 = 5\) 또는 \(a_1 = 4\)이다.
- \(a_3 = 2\)인 경우. \(a_2 = 4\) 또는 \(a_2 = 5\)이다. \(a_1 = 7\) 또는 \(a_1 = 8\) 또는 \(a_1 = 10\)이다.
이로써 찾은 \(a_1\)의 값은 다음과 같다. \[-24 ,\,\, -12 ,\,\, -9 ,\,\, -6 ,\,\, -3 ,\,\, 0 ,\,\, 4 ,\,\, 5,\,\, 6 ,\,\, 7 ,\,\, 8 ,\,\, 10 .\] 그런데 \(a_1 = -12\)일 때 \(a_2 = a_4\)이므로 \(-12\)는 조건에 부합하지 않는다. \(-6,\) \(-3,\) \(0,\) \(4,\) \(5\)도 마찬가지로 문제의 조건에 부합하지 않는다. 그러므로 남은 \(a_1\)의 값은 다음과 같다. \[-24 ,\,\, -9 ,\,\, 6 ,\,\, 7 ,\,\, 8 ,\,\, 10 .\] 이 값의 절댓값을 모두 더하면 \[24 + 9 + 6 + 7 + 8 + 10 = 64\] 이다.
이 외에, \(a_1\)의 절댓값이 \(3\)보다 큰 경우에는, \(a_3\)의 값이 앞에서 살펴본 경우에 포함되거나(즉 \(a_3\)의 절댓값이 \(3\) 이하가 되거나 \(a_3 = -6\)이 되는 경우), 또는 \(a_1 ,\) \(a_2 ,\) \(a_3\)의 절댓값이 모두 다르므로 더 이상 살펴볼 필요가 없다.